• La curva iniziale x2 + 4y2 = 4 è l'ellisse ottenibile sottoponendo il cerchio x2 + y2 = 4 (centro (0,0) e raggio 2) a uno "schiacciamento" (una contrazione verticale) di fattore 1/2, ossia alla trasformazione x, y → x, y/2. Infatti: - un punto (a,b) della figura di equazione x2 + y2 = 4 è tale che a2 + b2 = 4;
- se sottopongo la figura alla trasformazione x, y → x, y/2 il punto diventa (a,b/2), che non verifica più l'equazione di partenza; - avendo dimezzato la y per riottenere lo stesso output che a partire da (a,b) forniva x2 + y2 devo prima raddoppiare la y, ossia considerare x2 + (2y)2: dall'input (a,b/2) ottengo a2 + (2b/2)2 = a2 + b2. È una proprietà analoga a quella per cui il grafico di y = f(x–h) è il grafico di y = f(x) traslato mediante x → x+h: se applico x → f(x-h) a x+h ottengo f(x).
• La trasformazione x, y → –y, x/2, che compone ribaltamenti e trasformazioni di scala, non può trasformare un'ellisse in un'iperbole: sicuramente è da scartare la risposta C. Possiamo scomporre la trasformazione così: x,y → x/2,y → –y,x/2 La nostra ellisse viene prima contratta orizzontalmente del fattore 1/2. Poi vengono scambiati x e y e cambiato il segno della prima coordinata, senza mutare la figura in quanto simmetrica rispetto sia all'asse x che all'asse y. La figura finale è il cerchio di centro (0,0) e raggio 1.   Per commenti: figure(2) neGli Oggetti Matematici

Come fare i grafici con R: source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") BF=3; HF=3; PLANE(-2,2, -2,2) F = function(x,y) x^2+4*y^2-4 CURVE(F, "blue") multrarot(F, 1/2,-1, 0,0, 180, "brown")

La figura è facilmente tracciabile con WolframAlpha descrivendola in forma parametrica: l'ellisse iniziale (cerchio di raggio 2 con le y dimezzate) è  x = 2*cos(t), y = 2*sin(t)/2 = sin(t), la figura trasformata è  x = -sin(t), y = 2*cos(t)/2 = cos(t). Quindi:

(prima equazione, curva blu;  seconda, curva arancione)