Dimostra che in un triangolo equilatero la somma delle distanze dei lati da un suo generico punto interno è costante e determina quanto vale.

Il fatto che il testo dica che la somma delle distanze è costante potrebbe suggerire di pensare al caso che il punto sia al centro del triangolo e incominciare a ragionare sulla figura sopra a destra. Ma conviene pensare (come suggeriva implicitamente la figura tracciata) ai tre triangoli aventi i lati del triangolo originale come lato e P come vertice opposto: essi complessivamente hanno area pari all'intero triangolo, quindi, indicata con h l'altezza di esso: lato*(HP+KP+LP) = lato*h, da cui HP+KP+LP = h.

Figure e calcoli con WolframAlpha:
triangle (-1,0),(1,0),(0,sqrt(3))     ottengo la figura sotto a sinistra e  centroid (0, 1/sqrt(3))

Al centro la figura coi triangoli aventi un vertice nel centroide:
triangle (-1,0),(1,0),(0,1/sqrt(3)), triangle (-1,0),(0,sqrt(3)),(0,1/sqrt(3)), triangle (1,0),(0,sqrt(3)),(0,1/sqrt(3))
La somma delle distanze dei lati dal centroide:
3/sqrt(3)     ottengo (arrotondando) 1.73205
A destra i triangoli aventi un vertice in (0.1,0.8)
triangle (-1,0),(1,0),(0.1,0.8), triangle (-1,0),(0,sqrt(3)),(0.1,0.8), triangle (1,0),(0,sqrt(3)),(0.1,0.8)
La somma delle distanze dei lati da (0.1,0.8)
dist(0.1,0.8), line(-1,0),(0,sqrt(3))     0.552628
dist(0.1,0.8), line(1,0),(0,sqrt(3))     0.379423
dist(0.1,0.8), line(1,0),(-1,0)         0.8
0.552628 + 0.379423 + 0.8         1.732051   Stesso valore ...

Sotto come puņ essere congetturata la cosa con R.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
HF=3; BF=3
PLANE(-5,5, -5,5)
circle(0,0, 4, "red")
A = circleA2(0,0, 4, 90)
B = circleA2(0,0, 4, 90+120)
C = circleA2(0,0, 4, 90+240)
polyC(c(A[1],B[1],C[1]),c(A[2],B[2],C[2]),"yellow")
P=c(1,1); Point(P[1],P[2],"blue")
d1 = point_line(P[1],P[2], A[1],A[2],B[1],B[2]); perp3p(A[1],A[2],B[1],B[2], P[1],P[2],1)
d2 = point_line(P[1],P[2], A[1],A[2],C[1],C[2]); perp3p(A[1],A[2],C[1],C[2], P[1],P[2],1)
d3 = point_line(P[1],P[2], B[1],B[2],C[1],C[2]); perp3p(B[1],B[2],C[1],C[2], P[1],P[2],1)
c(d1,d2,d3, d1+d2+d3)
polyC(c(A[1],B[1],C[1]),c(A[2],B[2],C[2]),"yellow")
P = c(1,1); Point(P[1],P[2],"blue")
d1 = point_line(P[1],P[2], A[1],A[2],B[1],B[2]); perp3p(A[1],A[2],B[1],B[2], P[1],P[2],1)
# -1.049038  2.183013
d2 = point_line(P[1],P[2], A[1],A[2],C[1],C[2]); perp3p(A[1],A[2],C[1],C[2], P[1],P[2],1)
# 1.549038 1.316987
d3 = point_line(P[1],P[2], B[1],B[2],C[1],C[2]); perp3p(B[1],B[2],C[1],C[2], P[1],P[2],1)
#  1 -2
c(d1,d2,d3, d1+d2+d3)
# 2.3660254 0.6339746 3.0000000  6.0000000
P = c(0,0); Point(P[1],P[2],"blue")
d1 = point_line(P[1],P[2], A[1],A[2],B[1],B[2]); perp3p(A[1],A[2],B[1],B[2], P[1],P[2],1)
# -1.732051  1.000000
d2 = point_line(P[1],P[2], A[1],A[2],C[1],C[2]); perp3p(A[1],A[2],C[1],C[2], P[1],P[2],1)
# 1.732051 1.000000
d3 = point_line(P[1],P[2], B[1],B[2],C[1],C[2]); perp3p(B[1],B[2],C[1],C[2], P[1],P[2],1)
# -6.123032e-16 -2.000000e+00
c(d1,d2,d3, d1+d2+d3)
# 2 2 2  6