Dimostra (nel piano euclideo) che (1) due rette parallele formano con qualunque altra retta ad esse non parallela angoli alterni interni uguali e che, viceversa, (2) due rette per le quali esista una retta che le attraversi formando angoli alterni interni uguali sono parallele.

(1) Nella figura a lato le rette parallele sono AB e CD, la retta trasversale è HK. Dimostro che gli angoli KHA e HKD sono uguali. Essendo AB // CD (ossia con la stessa inclinazione) ho che EKC = KHA. Ma EKC = HKD in quanto opposti al vertice (la stessa rotazione che porta la semiretta KE sulla semiretta KC porta la semiretta KH sulla semiretta KD). Dunque abbiamo anche che KHA = HKD. (2) Sia: KHA = HKD. Devo dimostrare che AB // CD, ossia che AB e CD hanno la stessa inclinazione, ovvero che sono ottenibili come rotazioni di pari ampiezza della retta HK, ovvero che EKC = KHA. Ma, come osservato sopra, EKC = HKD in quanto opposti al vertice, e quindi, dall'ipotesi che KHA = HKD, segue proprio che EKC = KHA

  Le dimostrazioni sono riferite a una introduzione del parallelismo basata sul concetto di direzione. Per altri commenti: figure 2 e triangoli neGli Oggetti Matematici.