A lato è tracciato un poligono e ne è determinata l'area mediante l'applicazione Cinderella.  Prova a ottenere il medesimo esito mediante la stessa applicazione.  Trova quindi come, senza ricorrere ad essa, ottenere il valore dell'area.

Con Cinderella (vedi) traccio i punti (dopo aver selezionato la calamita in modo che cadano nelle intersezioni della griglia), quindi traccio il poligono che li congiunge (non ho visualizzato i pallini dei punti - vedi - ma potevo lasciare la vista standard) e clicco il bottone per visializzarne l'area.  In realtà sulla finestra "testo della costruzione" appaiono come "Centro" anche quelle che sembrano essere le coordinate (5.75,4) del centroide. In realtà vengono visualizzate le coordinate del centroide dei vertici del poligono (il valore è corretto solo nel caso di un poligono regolare, di un rettangolo, … - vedi). Vedremo più avanti come calcolarle correttamente.

Per trovare l'area "a mano" posso procedere come spiegato e indicato qui:
Area = ((yA+yB)(xA-xB) + (yB+yC)(xB-xC) + (yC+yD)(xC-xD) + (yD+yA)(xD-xA)) / 2 = ((0+2)*(1-12)+(2+10)*(12-8)+(10+4)*(8-2)+(0+4)*(2-1))/2 = 57

Ecco come calcolare tutto ricorrere direttamente da rete allo script areaPol:

Si può fare tutto (calcoli e rappresentazione grafica) con WoframAlpha (vedi) introducendo:
centroid of polygon (1,0),(12,2),(8,10),(2,4)

Ecco come farne facilmente il calcolo con R usando gli algoritmi presenti nel file richiamato nella prima riga:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
x <- c(1,12,8,2)
y <- c(0,2,10,4)
areaPol(x,y)
#  57
centroPol(x,y)
#  6.473684   4.105263

Ecco come farne il calcolo senza caricare "macosa.dima.unige.it/r.R" (introducendo le coordinate in verso antitorario):

x <- c(1,12,8,2)
y <- c(0,2,10,4)
n <- length(x); area <- (y[n]+y[1])*(x[n]-x[1])
for (i in 1:(n-1)) area <- area + (y[i]+y[i+1])*(x[i]-x[i+1]); area <- area/2
area
# 57

Ecco come determinare le coordinate del centroide, a partire dalle istruzioni precedenti (rinviamo a questo documento per una spiegazione):

cx <- (x[n]+x[1])*(x[n]*y[1]-x[1]*y[n]); cy <- (y[n]+y[1])*(x[n]*y[1]-x[1]*y[n])
for (i in 1:(n-1)) {
  cx <- cx + (x[i]+x[i+1])*(x[i]*y[i+1]-x[i+1]*y[i]);
  cy <- cy + (y[i]+y[i+1])*(x[i]*y[i+1]-x[i+1]*y[i]) }
cx <- cx/(area*6); cy <- cy/(area*6)
cx; cy
# 6.473684     ascissa e ordinata del centroide
# 4.105263

Come si vede, sono diverse da quelle determinate da Cinderella.