Tracciamo 4 punti su un piano, che non stiano né su una stessa retta né sul bordo di uno stesso cerchio.  È sempre possibile contrassegnarli con le quattro lettere A, B, C e D in modo che il punto A sia all'interno del cerchio passante per B, C, D?

Facendo un po' di prove con del software di geometria dinamica (puoi usare questo file di Cinderella) è facile convincersi che la cosa è sempre possibile. Ma non ne abbiamo la certezza in quanto riusciamo ad esaminare solo alcuni casi.
Proviamo a dimostrarlo, utilizzando il fatto (vedi l'esercizio 6.19 sullo "spazio a 1 e 2 dimensioni") che in ogni quadrilatero inscritto in un cerchio ogni coppia di angoli opposti ha ampiezze la cui somma è 180°. Non è una dimostrazione banale.
Ovviamente se uno dei punti (vedi figura sotto a sinistra) è interno al triangolo formato dagli altri tre il problema è facilmente risolto. Supponiamo, dunque, di essere in una situazione diversa. Per l'esercizio citato, poiché i punti non stanno tutti e quattro sul bordo del cerchio, la somma di due angoli opposti è maggiore di 180° e quella degli altri due è minore. Supponiamo di essere nel caso raffigurato sotto, al centro, in cui gli angoli che hanno somma maggiore di 180° sono quelli con vertici P1 e P3.

Costruiamo il cerchio passante per P2, P4 e P3 e indichiamo con Q la sua intersezione con la retta per P4 e P1. Nella figura a destra P1 è compreso tra P4 e Q, ma, per ora, non lo sappiamo: potrebbe essere che P1 sia esterno al cerchio.
Tracciamo anche il segmento Q P2.
Sappiamo che l'angolo con vertice P3 e l'angolo P2 Q P4 hanno somma pari a 180°.
Ma sappiamo anche che l'angolo con vertice P3 e l'angolo P2 P1 P4 hanno somma maggiore di 180°.
Dunque l'angolo P2 Q P4 è minore dell'angolo P2 P1 P4.
A questo punto posso concludere che P1 è interno al segmento QP4 e quindi è interno al cerchio.