Considera (in un piano euclideo) una retta r e due punti A e B dalla stessa parte rispetto ad r.  Siano note le distanze a e b di A e di B da r e la distanza h tra le rette perpendicolari ad r passanti per A e per B.  Trova la posizione del punto P tale che la spezzata APB sia la pił corta possibile. Esprimi la posizione di P come distanza dalla proiezione di A su r.  Determina, anche, quanto è lunga tale spezzata.

Vedi prima la soluzione di questo esercizio, poi torna qui. P è l'intersezione tra r e la retta BA', con A' simmetrico di A rispetto ad r. Posso trovare subito la lunghezza della spezzata APB: AB' = √(h²+(a+b)²). Indico con k la distanza da trovare (ossia il "?").  Il rapporto tra k ed a è eguale al rapporto tra h−k e b essendo i triangoli rettangoli di cateti PA' e PB simili. Da  k/a = (h−k)/b  ricavo  k*(b+a) = h*a, da cui  k = h*a/(a+b).