Traccia (aiutandoti col computer), su uno stesso sistema di riferimento, i grafici delle curve:
14*x^2+4*x*y+11*y^2 = 60
(3*x-y+3)^2+12*x*y = 0
(2*x+y-1)*(x+3*y-1) = 2
x^2+4*y^2-4*x*y+2*x-4*y = 1
e stabilisci che tipi di curve sono.

Procedendo con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/R/r.R")
PLANE(-5,5,-5,5)
f = function(x,y) 14*x^2+4*x*y+11*y^2-60; CURVE(f,"black")
g = function(x,y) (3*x-y+3)^2+12*x*y; CURVE(g,"red")
h = function(x,y) (2*x+y-1)*(x+3*y-1)-2; CURVE(h,"seagreen")
k = function(x,y) x^2+4*y^2-4*x*y+2*x-4*y-1; CURVE(k,"blue")

Sono tutte coniche. L'ultimo è un caso degenere, in cui la conica si riduce ad una coppia di rette.

Nota. Se sai che, indicata con a·x² + b·x·y + c·y² + d·x + e·y + f = 0 una generica curva polinomiale di 2º grado, posto D = b²−4ac, abbiamo che se D = 0 è una parabola, se D > 0 è una iperbole, se D < 0 è una ellisse, possiamo controllare numericamente gli esiti precedenti:

a = 14; b = 4; c = 11;  b^2-4*a*c
# -600   ellisse
a = 9; b = 6; c = 1;  b^2-4*a*c
# 0  parabola
a = 2; b = 7; c = 3;  b^2-4*a*c
# 25  iperbole
a = 1; b = -4; c = 4;  b^2-4*a*c
# 0  parabola; ma è un caso "degenere".

Nella figura precedente sono stati tracciati anche fuochi, direttrice, asintoti,…, usando i comandi seguenti (vedi).

PLANE(-5,5, -5,5)
CU1=c(14,4,11,0,0,-60); Conic(CU1)
CURVE(C1, "black"); Point(xF1,yF1,"black"); Point(xF2,yF2,"black")
CU2=c(9,6,1,18,-6,9); Conic(CU2)
CURVE(C1, "red"); Point(xF,yF,"red"); CUR(C2, "red")
CU3=c(2,7,3,-3,-4,-1); Conic(CU3)
CURVE(C1, "seagreen"); Point(xF1,yF1,"seagreen"); Point(xF2,yF2,"seagreen"); CUR(C2, "seagreen")
CU4=c(1,-4,4,2,-4,-1); Conic(CU4)
CURVE(C1, "blue")