Nel caso della figura tracciata a lato (un quadrato, una sua diagonale, un arco di cerchio ed un altro quadrato), quale relazione c'è tra la lunghezza a del segmento QR e la lunghezza b del segmento PQ?  Perché?

Si può congetturare che a = b. Si può verificare la cosa analiticamente, o utlizzando un programma (vedi sotto) o a mano:
• posso ragionare su un quadrato di dimensioni qualunque; supponiamo il suo lato sia lungo 10 (in una qualunque unità di misura);
• a è allora la lunghezza della diagonale del quadrato diminuita della lunghezza del lato di esso: 10·√2−10;
• b è uguale alla lunghezza del lato del quadrato meno quella della diagonale del quadratino: 10−a·√2 = 10−10·2+10·√2 = 10·√2−10;
• dunque a = b.

Senza procedere analiticamente, posso ragionare ad esempio così: • i segmenti SQ e PQ, in quanto perpendicolari ai raggi OS e OP, col segmento OQ formano due triangoli rettangoli uguali; • quindi SQ e PQ hanno la stessa lunghezza; SQ è lungo quanto QR; dunque a = b.
Ecco la verifica (e la costruzione della figura) con un programma. Qui usiamo R (vedi qui):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3          # finestra grafica larga e alta 3 pollici
PLANE(0,13, 0,13)   # usa PLANEww se non vuoi né griglia né assi
x = c(0,10,10,0,0); y = c(0,0,10,10,0); polyline(x,y, "blue")
x1 = c(0,10); y1 = c(0,10); polyline(x1,y1, "blue")
ARC(0,0, 10, 0,45, "brown")
yS = 10*sqrt(2)/2; raggio = 10-yS; polylineR(10,yS, raggio,4, 0, "brown")
# poligono regolare di 4 lati con centro 10,yS e raggio 10-yS
a = sqrt(2)*10-10; a
##   4.142136
b = 10 - 2*raggio; b
##   4.142136
# OK
# La semiretta OQ:
Direction(0,0, 45/2, 20, "red")