Dato un cerchio e due rette tangenti ad esso tra loro parallele, prendiamo punto del cerchio che non stia su di esse e tracciamo la tangente passante per esso. Siano A e B le intersezioni di questa con le due tangenti iniziali. Sia O il centro del cerchio. Si dimostri che l'angolo BOA ha sempre la stessa ampiezza, comunque si scelgano A e B.    

Prima di metterci a tentare la dimostrazione vediamo cosa accade spostando il punto su cerchio. Se prendo il punto equidistante dalle due tangenti vedo subito che il triangolo AOB è un quarto di quadrato, con AB lungo quanto un diametro e con ∠BOA ampio 90° (vedi la figura sotto a destra).  Dunque questa dovrebbe essere, in ogni caso, l'ampiezza dell'angolo.  Per la dimostrazione ci conviene tracciare il raggio passante per il punto del cerchio indicato con H nella figura sotto a sinistra. ∠AOU = ∠HOA, ∠VOB = ∠BOH, la somma di questi 4 angoli è un angolo piatto, quindi ∠BOA è mezzo angolo piatto, ossia è un agolo retto.


# Come è stata fatta la figura? È stata realizzata con R (vedi):
#
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=4; HF=3
PLANEww(-6,6, -5,5)   # togli ww se vuoi la griglia
circle(0,0,3, "red")
segm(-10,-3, 10,-3, "red")
segm(-10,3, 10,3, "red")
a=30  # inclinazione di OH
POINT(xrot(a)*3,yrot(a)*3, "red")
point_inclina(xrot(a)*3,yrot(a)*3,a+90, "seagreen")
line_line2(xrot(a)*3,yrot(a)*3,a+90, 0,3, 0)
Ax=solut[1]; Ay=solut[2]
line_line2(xrot(a)*3,yrot(a)*3,a+90, 0,-3, 0)
Bx=solut[1]; By=solut[2]
segm(Ax,Ay, 0,0, "seagreen")
segm(Bx,By, 0,0, "seagreen")
angle(c(Ax,Ay),c(0,0),c(Bx,By))
# 90    Ho la verifica sperimentale che 
circl(0,0,3, "blue")
point_inclina(xrot(a)*3,yrot(a)*3,a+90, "seagreen")
POINT(xrot(a)*3,yrot(a)*3, "red")
POINT(Ax,Ay, "black")
POINT(Bx,By, "black")
POINT(0,0, "black")
text(-1/2,-1/2,"O",cex=0.8)
text(2.5,3.6,"A",cex=0.8)
text(4.5,-3.5,"B",cex=0.8)
#
line(0,0, xrot(a)*3,yrot(a)*3, "black")
POINT(xrot(a)*3,yrot(a)*3, "red")
text(3.5,1.5,"H",cex=0.8)