Una superficie piatta può essere ricoperta senza sovrapposizioni con piastrelle uguali aventi la forma di un triangolo equilatero. A lato sono illustrati due degli infiniti modi in cui è possibile farlo. Si potrebbero impiegare piastrelle aventi come forma altri poligoni regolari? Quali? Non ve ne sono altri oltre a questi? Perché?

Ovviamente si potrebbero usare, come si fa di solito, piastrelle quadrate. Si potrebbero anche impiegare piastrelle a forma di esagono regolare: infatti 6 triangoli equilateri (disposti come nell'esempio a sinistra) formano un esagono regolare. Facendo un po' di prove si vede che con altre forme di poligono regolare non si riesce a "pavimentare" una superficie piatta. Ma come essere sicuri che non ne esista alcun'altra che vada bene? Dobbiamo dimostrare la cosa con qualche ragionamento.
Nei casi del quadrato e del triangolo equilatero si riescono a realizzare strisce di piastrelle disposte una sotto l'altra; negli altri casi, essendo l'angolo maggiore di 90°, non è possibile fare ciò (non sono formabili angoli piatti, come si può fare con 2 quadrati o 3 triangoli equilateri). L'unica possibilità è che attorno ad ogni vertice si aggreghino più poligoni in modo da riempire lo spazio. Oltre che nel caso del quadrato (90°·4 = 360°) e del triangolo equilatero (60°·6 = 360°) ciò è possibile solo nel caso dell'esagono (120°·3 = 360°).  Nel caso del pentagono 3 angoli formano meno di 360° e 4 formano più di 360° (un pentagono è scomponibile in 3 triangoli per cui i suoi angoli formano complessivamente 3·180°; un angolo è quindi ampio 3·180°/5 = 3·36° = 108°).
Non ci sono altre possibilità. Infatti gli esiti della divisione di 360° per un intero maggiore di 2 sono, in ordine decrescente, 120°, 90°, 72°, 60°, …. Nel caso dell'ettagono l'angolo è di 5·180°/7 = 128.57…°, che non è una di queste ampiezze. Lo stesso accade per i poligoni con un numero maggiore di lati, che hanno tutti angolo maggiore di 120°.   Per altri commenti: triangoli neGli Oggetti Matematici.