Due cerchi tangenti esternamente (ossia aventi un unico punto in comune senza essere uno contenuto nell'altro) hanno raggi lunghi 4 e 9. Quanto distano i punti in cui una retta tangente ad entrambi li tocca?

Abbiamo due casi.  Quello in cui la retta è tangente nel punto Q comune ai due cerchi; in questo caso la distanza cercata è 0.  E quello in cui la retta tocca i cerchi in due punti H e K distinti. In questo secondo caso (vedi figura a lato, in cui AH e BK sono lunghi rispettivamente 9 e 4), per trovare d(H,K) posso osservare che AH e BK sono entrambi perpendicolari ad HK in quanto raggi passanti per punti di tangenza e quindi che la perpendicolare a BK passante per B intercetta su AH un punto P tale che HPBK sia un rettangolo. Dunque HK = PB e PH = BK.  So che d(A,B) = d(A,Q)+d(Q,B) = 9+4 = 13 e che d(P,A) = d(A,H)-d(P,H) = 9-4 = 5.  Per il Teorema di Pitagora d(P,B) = √(132-52) = √144 = 12, che è anche il valore di d(H,K).

Per altri commenti: figure (2) e distanza neGli Oggetti Matematici.

# Sotto, per curiosità, come è stata tracciata la figura con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.8; HF=2.8
PIANO(0,18+8, -10,10)
cerchio(9,0, 9, "brown")
cerchio(9+9+4,0, 4, "brown")  #9+9+4=22
A=c(9,0); B=c(22,0); Q=c(18,0)
segm(9,0, 22, 0, "red")
text(7,0,"A"); text(22+2,0,"B"); text(18-1.5,-1.5,"Q")
PUNTO(c(A[1],Q[1],B[1]),c(A[2],Q[2],B[2]),"blue")
AP=9-4  # 5
PB=sqrt((9+4)^2-5^2)  # 12
triLLL(13,12,5)
ANGOLI  # 90  67.38014  22.61986
LATI    # 13  12  5
PBA=ANGOLI[3]; BAP=ANGOLI[2]; BP=LATI[2]
Direzione(9,0, BAP,9, "red")
H=c(Direzionex,Direzioney)
Direzione(9+9+4,0, 180-PBA,BP, "seagreen")
P=c(Direzionex,Direzioney)
Direzione(9+9+4,0, BAP,4, "red")
K=c(Direzionex,Direzioney)
text(9,4.5,"P"); text(13,10,"H"); text(24,5.5,"K")
segm(K[1],K[2],H[1],H[2],"red")
r2p(K[1],K[2],H[1],H[2],"red")
PUNTO(c(A[1],Q[1],B[1],H[1],K[1],P[1]),c(A[2],Q[2],B[2],H[2],K[2],P[2]),"blue")