Per un punto della diagonale di un parallelogramma conduco le parallele ai lati, suddividendolo in quattro nuovi parallelogrammi. Che relazione c'è tra le aree dei due nuovi parallelogrammi che non sono attraversati dalla diagonale?

Se il punto è al centro della diagonale i due parallelogrammi sono uguali, ed hanno quindi la stessa area. La cosa vale anche negli altri casi? I triangoli che stanno tra un parallelogramma e la diagonale sono tra loro simili in quanto hanno due lati allineati e gli altri paralleli e quindi hanno gli stessi angoli. Quindi i rapporti tra lati corrispondenti h'/h" e k'/k" devono essere uguali.
h' e k" sono anche le lunghezze dei lati di uno dei due parallelogrammi, e h" e k' sono quelle dei lati dell'altro. Noi dobbiamo confrontare h'·k" (area del primo parallelogramma) con h"·k' (area del secondo). Da h'/h" = k'/k" si deduce che h'·k" = h"·k'. Dunque i due parallelogrammi hanno la stessa area.

Potevo anche arrivare alla risposta più rapidamente: ciascun triangolo verde ha area uguale al triangolo opposto che ha un lato in comune con esso in quanto sono metà dello stesso parallelogramma; analogamente i due triangoli in cui è suddiviso l'intero parallelogramma dalla diagonale sono eguali; quindi i due nuovi parallelogrammi, in quanto ottenuti sottraendo figure di area uguale da due figure di area uguale, hanno la stessa area.

Per altre osservazioni: area, trasf. geometriche e triangoli neGli Oggetti Matematici.