(1) Determina, in modo semplice, le distanze del punto (-2,3) dalle rette y=-2, x=3, y=x.
(2) Trova una formula generale per esprimere la distanza tra (0,0) e la retta di equazione ax+by+c=0.
(3) Usando quanto trovato in (2), trova una formula generale per esprimere la distanza tra un generico punto P e la retta di equazione ax+by+c=0.
 
 
Traccia per (2). Osserva la figura a lato e tieni conto che la distanza OH è anche l'altezza del triangolo OAB.
Traccia per (3). Trasla la figura formata da P e retta in modo che P vada in (0,0) e usa quanto trovato in (2).

(1) y=-2 è orizzontale; la sua distanza PU dal punto P = (-2,3) è pari al valore assoluto della differenza delle ordinate: |yP-(-2)| = |3+2| = 5.  x=3 è verticale; la sua distanza PV dal punto dato è pari al valore assoluto della differenza delle ascisse: |xP-3| = |-2-3| = 5.
Nel caso di y=x è facile trovare la retta per P ad essa perpendicolare e quindi trovare il punto W di intersezione:
PW ha coefficiente angolare -1, la retta per P con tale coeff. angolare è y=-(x-(-2))+3, l'intersezione con y=x è:
y = -x+1 & y = x,  ossia:  x = -x+1 & y = x,  ossia:  x = 1/2 & y = 1/2.
La distanza tra P=(-2,3) e W=(1/2,1/2) è √((2+1/2)2+(3-1/2)2) = √(2·2.52) = 5/2·√2 = 5/√2.
(2) ax+by+c=0 interseca l'asse x in A = (-c/a,0) in quanto ax+by+c=0 & y=0 equivale a x = -c/a. Analogamente trovo che interseca l'asse y in B = (0,-c/b).
Area(OAB) = d(O,A)·d(O,B)/2 = c2/|a·b|/2 considerando OA come base  (e OB come relativa altezza).
Area(OAB) = d(A,B)·d(O.H)/2 = √(c2/b2+c2/a2)·d(O,H)/2 considerando AB come base  (e HO come relativa altezza).
Quindi:
d(O,H) c2/|a·b|  = √( c4/(a2b2) ) = √( c2 ) |c|
—————— ————— ——— ———
√(c2/b2+c2/a2) c2/b2+c2/a2 a2+b2 √(a2+b2)
(3) Nel caso in cui P = (x0,y0) per trovare la distanza da esso di ax+by+c=0 traslo il complesso della figura nell'origine e applico la formula precedente.
Traslando di vettore (-x0,-y0) l'equazione della retta diventa a(x+x0)+b(y+y0)+c=0 ossia ax+by+ax0+by0+c=0 per cui la formula diventa:
d(P,H) = d(O,H') = |ax0+by0+c|
——————
√(a2+b2)
Proviamo ad applicare la formula per il calcolo della distanza PW considerata in (1).
La retta è x-y=0, (x0,y0) = (-2,3), quindi:
distanza tra punto e retta  = |-2-3| / √(12+(-1)2) = 5/√2.
  Con R
# distanza della retta ax+by+c=0 dal punto (x,y)
d_r_P <- function(a,b,c,x,y) {
  print(abs(a*x+b*y+c)/sqrt(a^2+b^2));
  paste(abs(a*x+b*y+c),"/sqrt(",a^2+b^2,")",sep="") }
d_r_P(1,-1,0, -2,3)
[1] 3.535534
[1] "5/sqrt(2)"


In alternativa potevo usare automaticamente le funzioni punto_retta e punto_retta2 illustrate qui, al punto (16)  (o point_line e point_line2 illustrate qui).