(1) Determina, in modo semplice, le distanze del punto (-2,3) dalle rette y=-2, x=3, y=x.
(2) Trova una formula generale per esprimere la distanza tra (0,0) e la retta di equazione ax+by+c=0.
(3) Usando quanto trovato in (2), trova una formula generale per esprimere la distanza tra un generico punto P e la retta di equazione ax+by+c=0.

Traccia per (2). Osserva la figura a lato e tieni conto che la distanza OH è anche l'altezza del triangolo OAB.
Traccia per (3). Trasla la figura formata da P e retta in modo che P vada in (0,0) e usa quanto trovato in (2).

(1) y=-2 è orizzontale; la sua distanza PU dal punto P = (-2,3) è pari al valore assoluto della differenza delle ordinate: |y_P-(-2)| = |3+2| = 5. x=3 è verticale; la sua distanza PV dal punto dato è pari al valore assoluto della differenza delle ascisse: |x_P-3| = |-2-3| = 5.
Nel caso di y=x è facile trovare la retta per P ad essa perpendicolare e quindi trovare il punto W di intersezione:
PW ha coefficiente angolare -1, la retta per P con tale coeff. angolare è y=-(x-(-2))+3, l'intersezione con y=x è:
y = -x+1 & y = x, ossia: x = -x+1 & y = x, ossia: x = 1/2 & y = 1/2.
La distanza tra P=(-2,3) e W=(1/2,1/2) è √((2+1/2)²+(3-1/2)²) = √(2·2.5²) = 5/2·√2 = 5/√2.

(2) ax+by+c=0 interseca l'asse x in A = (-c/a,0) in quanto ax+by+c=0 & y=0 equivale a x = -c/a. Analogamente trovo che interseca l'asse y in B = (0,-c/b).
Area(OAB) = d(O,A)·d(O,B)/2 = c²/|a·b|/2 considerando OA come base (e OB come relativa altezza).
Area(OAB) = d(A,B)·d(O.H)/2 = √(c²/b²+c²/a²)·d(O,H)/2 considerando AB come base (e HO come relativa altezza).
Quindi:

d(O,H) =	c²/\|a·b\|	= √(	c⁴/(a²b²)	) = √(	c²	) =	\|c\|
	——————		—————		———		———
	√(c²/b²+c²/a²)		c²/b²+c²/a²		a²+b²		√(a²+b²)

(3) Nel caso in cui P = (x₀,y₀) per trovare la distanza da esso di ax+by+c=0 traslo il complesso della figura nell'origine e applico la formula precedente.
Traslando di vettore (-x₀,-y₀) l'equazione della retta diventa a(x+x₀)+b(y+y₀)+c=0 ossia ax+by+ax₀+by₀+c=0 per cui la formula diventa:

d(P,H) = d(O,H') =	\|ax₀+by₀+c\|
	——————
	√(a²+b²)

Proviamo ad applicare la formula per il calcolo della distanza PW considerata in (1).
La retta è x-y=0, (x₀,y₀) = (-2,3), quindi:
distanza tra punto e retta = |-2-3| / √(1²+(-1)²) = 5/√2.

Con R
# distanza della retta ax+by+c=0 dal punto (x,y)
d_r_P <- function(a,b,c,x,y) {
print(abs(a*x+b*y+c)/sqrt(a^2+b^2));
paste(abs(a*x+b*y+c),"/sqrt(",a^2+b^2,")",sep="") }
d_r_P(1,-1,0, -2,3)
[1] 3.535534
[1] "5/sqrt(2)"

In alternativa potevo usare automaticamente le funzioni point_line e point_line2 illustrate qui [o punto_retta e punto_retta2 illustrate qui, al punto (16)].

(1) Determina, in modo semplice, le distanze del punto (-2,3) dalle rette y=-2, x=3, y=x. (2) Trova una formula generale per esprimere la distanza tra (0,0) e la retta di equazione ax+by+c=0. (3) Usando quanto trovato in (2), trova una formula generale per esprimere la distanza tra un generico punto P e la retta di equazione ax+by+c=0.

Traccia per (2). Osserva la figura a lato e tieni conto che la distanza OH è anche l'altezza del triangolo OAB. Traccia per (3). Trasla la figura formata da P e retta in modo che P vada in (0,0) e usa quanto trovato in (2).