A lato è tracciato (in scala monometrica) il grafico di x → sin(x) in [−π,π]. Valutane la lunghezza con una stima e, quindi, usando opportunamente R o altro software.
Per una stima posso calcolare la lunghezza della spezzata raffigurata in blu a fianco:

a= 2*pi; b = 1.1*4; sqrt(a^2+b^2) = 7.67062 che posso arrotondare a 7.7.
    Per una valutazione più precisa posso calcolare la lunghezza di una spezzata che approssimi la curva; con R posso procedere direttamente così:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=4; HF=2
# tracciamento del grafico
f = function(x) sin(x)
x1=-pi; x2=pi; y1=-1; y2=1; TICKx = pi/4; TICK y= 1/2
PLANE2(x1,x2, y1,y2)
underX(bquote(-pi),-pi); underX(bquote(pi),pi)
underY(-1,-1); underY(1,1)
graph(f, x1,x2, "brown")
# lunghezza della curva:
lengFun(f, x1,x2, 1e3)         # 7.640392
lengFun(f, x1,x2, 1e4)         # 7.640396
more( lengFun(f, x1,x2, 1e5) )  # 7.64039557766125
more( lengFun(f, x1,x2, 2e5) )  # 7.64039557795686
more( lengFun(f, x1,x2, 4e5) )  # 7.64039557803087
more( lengFun(f, x1,x2, 8e5) )  # 7.64039557804947
more( lengFun(f, x1,x2, 16e5) ) # 7.64039557805362

    Posso assumere l'arrotondamento 7.6403955781.
    Ovvero posso usare questo semplice script online.
    Posso confrontare questo valore con quello che posso ottenere con WolframAlpha:
arc length of y=sin(x) from x=-pi to x=pi
ottengo:   7.64039557805542403580952416….

  Per altri commenti: lunghezza neGli Oggetti Matematici.