Già Leonardo da Vinci, nel 1400, si era chiesto quale curva corrispondesse alla forma assunta da una catena appesa per gli estremi. Galileo pensò si trattasse di una parabola. Il problema fu ripreso da Leibniz, che coniò, per questa curva misteriosa, il nome catenaria. Si interessarono al problema anche Huyghens ed i fratelli Johann e Jakob Bernoulli. Fu quest'ultimo a risolvere definitivamente il problema, nel 1691, individuando la seguente equazione.  Tracciane il grafico per a = 8 e x tra −8 ed 8 e sovrapponi ad esso il grafico della parabola che passa per gli stessi punti di ascissa −8, 0 ed 8.

y = a/2·(ex/a + e−x/a)

   

La cantenaria e (tratteggiata in rosso) la parabola. Come si vede, le curve sono difficili da distinguere.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# La catenaria
f = function(x) a/2*(exp(x/a)+exp(-x/a))
a = 8
HF=6; BF=8
graph1F(f, -8,8, "black")
# La parabola avente vertice in (0,8) passante per (8,f(8))
g = function(x) b*x^2+a
# b*8^2+a = f(8)
b = (f(8)-a)/8^2
coldash="red"; graph(g,-8,8, 0)
POINT(8,f(8), "blue"); POINT(-8,f(-8), "blue")