Determina il centroide delle due figure a fianco (un pentagono e l'unione di un triangolo e un semicerchio).

Consideriamo la prima figura. Il quadrato che ottengo congiungendo (1,2) e (2,1) ha come centroide (1,1). Il rimanente triangolo ha come centroide ((1+2+2)/3, (2+1+2)/3) = (1+2/3, 1+2/3). L'intera figura ha centroide con ascissa (1*4+1+2/3)/5 = 1.133333… = 17/15 e uguale ordinata. La seconda figura ha centroide con ascissa 0. L'ordinata del centroide del triangolo inferiore è (-1+0+0)/3 = -1/3. Quella del semicerchio superiore è 4/(3π) (vedi). L'area del semiquadrato è 1, quella del semicerchio è π/2. Quindi l'ascissa del centroide della figura è (-1/3+4/(3π)*π/2)/(1+π/2) = 1/(3·(1+π/2)) = 0.1296615…

Per approfondimenti figure 2 neGli Oggetti Matematici.

# Potrei fare i calcoli senza ricorrere all'integrazione, anche nel secondo caso,
# approssimando la curva con una poligonale, con questo script o con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# Primo caso:
x = c(1,2,2,1,0); y=c(0,1,2,2,1); centroPol(x,y)
# [1] 1.133333 1.133333
# Secondo caso:
t = seq(0,pi, len=1e5)  # approssimo il semicerchio con una poligonale di 100 mila lati
x1 = cos(t); y1 = sin(t)     # il semicerchio
x = c(0,x1); y = c(-1,y1)  # la figura ottenuta aggiunendo (0,-1)
centroPol(x,y)
# [1] 2.242398e-16  1.296615e-01
# Dunque  (0,0.1296615)
# Se metto 0.1296615 in WolframAlpha trovo che un'approssimazione di  1/(3·(1+π/2))