(1)  Data l'equazione 2*x^2 + 2*y^2 - 8*y + 1 = 0 dimostra che essa rappresenta un cerchio e che il punto P = (2,3) è esterno ad esso.
(2)  Traccia il cerchio e, in modo opportuno, le rette tangenti ad esso passanti per P. Dovresti ottenere una figura simile a quella a lato.
(3)  Spiega, e motiva, come hai proceduto.
   

(1)  Il cerchio di centro (a,b) e raggio r  (l'insieme dei punti che da (a,b) distano r)  ha equazione:
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2  ossia, sviluppando,  x^2+a^2-2*a*x + y^2+b^2-2*b*y - r^2 = 0
L'equazione del quesito, riordinata, equivale a  x^2 + y^2 - 4*y + 1/2 = 0
Deve essere  2*a*x = 0,  2*b*y = 4*y,  a^2+b^2-r^2 = 1/2
a = 0,  b = 2,  4-1/2 = r^2
Dunque l'equazione iniziale equivale a x^2 + (y-2)^2 = 7/2:  rappresenta un cerchio di centro (0,2) e raggio √3.5.
Il punto (2,3) è esterno al cerchio se la sua distanza dal cerchio è maggiore del raggio ossia se, posto F(x,y) = x^2 + (y-2)^2 - 7/2,  ovvero G(x,y) = 2*x^2 + 2*y^2 - 8*y + 1, abbiamo  F(2,3) > 0,  ovvero G(2,3) > 0.  E in effetti  F(2,3) = 1.5, ovvero G(2,3) = 3.

(2-3)  Non è facile procedere "a mano" poiché (dato lo spessore della matita e le dimensioni del foglio) è difficile tracciare una retta che sia una "buona" tangente (si possono ottenere rette con inclinazione che varia di qualche grado). Come fare, senza trovare le equazioni con tecniche di analisi matematica?
Posso procedere tracciando la curva con del software e provare a tracciare delle rette. Ecco uno dei modi in cui potrei procedere con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f <- function(x,y) 2*x^2 + 2*y^2 - 8*y + 1
BF=5; HF=5 # quelle raffigurate sono ottenute con BF=3; HF=3
PIANO(-2,2, 0,4)
curva(f, "red"); PUNTO(2,3, "red")
Direzione(2,3, 120, 3, "blue")   # Traccio due rette per (2,3) diversamente
Direzione(2,3, -90, 3, "blue")   # inclinate, per farmi un'idea ...
  
# faccio tratti più sottili e "zoommo"(e non uso la scala
# monometrica, che non serve per verificare la tangenza)
Piano(0,2, 2,4)
cur(f, "red"); PUNTO(2,3, "red")
Direzio(2,3, 140, 3, "blue")
Direzio(2,3, 150, 3, "blue")
# Zoommo ulteriormente più volte ...
Piano(0.92, 0.98, 3.59,3.63)
cur(f, "red"); PUNTO(2,3, "red")
Direzio(2,3, 149, 3, "orange"); Direzio(2,3, 150, 3, "brown")
Direzio(2,3, 149.8, 3, "blue"); Direzio(2,3, 149.78, 3, "seagreen")
pendenza(149.78)
# -0.5824813  Prendo -0.5825
# Analogamente per l'altra tangente:
Piano(1, 2.5, 1.5,3)
cur(f, "red"); PUNTO(2,3, "red")
# ...
     
pendenza(-96.646)
# 8.582393  Prendo 8.582
# La figura finale:
PIANO(-2,2, 0,4); cur(f, "red"); PUNTO(2,3, "red")
Direzio(2,3, -96.647, 3, "blue"); Direzio(2,3, 149.78, 3, "blue")
# Traccio anche i "raggi"
Direzio(0,2, -96.647+90, 3,"seagreen"); Direzio(0,2, 149.78-90, 3,"seagreen")

Per trovare "esattamente" le tangenti senza svolgere calcoli complessi possiamo affidarci a WolframAlpha.  Se intoduciamo:
tangent to 2*x^2 + 2*y^2 - 8*y + 1 = 0 passing through (2,3)
otteniamo le espressioni delle due tangenti, che poi possiamo scrivere in R:

t1 <- function(x) (12+7*sqrt(21)+(3-2*sqrt(21))*x)/(6+sqrt(21))
t2 <- function(x) (12-7*sqrt(21)+(3+2*sqrt(21))*x)/(6-sqrt(21))
# Confrontiamo con i coeff. direttivi trovati "a mano":
t1(2)-t1(1); t2(2)-t2(1)
#  -0.5825757   8.582576   Quasi eguali.