Dimostra che l'area della superficie punteggiata nella figura a lato è eguale a quella del cerchio piccolo.  I tre pallini e i segmenti neri tracciati ti dovrebbero suggerire come procedere.
Assumiano il raggio del cerchio maggiore come unità di misura delle lunghezze. Osserviamo i pallini neri. Essi, col centro dei cerchi, formano due triangoli rettangoli aventi ipotenusa lunga 1 (il raggio del cerchio maggiore) e un cateto lungo 1/2 (il raggio del cerchio minore).

Dando dei nomi ai punti, come qui a sinistra, abbiamo che l'angolo BOC è di 60° e, quindi, l'angolo AOB è di 120°, 1/3 di 360°. Dunque il settore circolare corrispondente ha estensione pari ad 1/3 dell'area del cerchio, ossia π/3. Se tolgo l'area del triangolo AOB ho l'area della parte della figura sopra ad AB, ossia di α. L'area di AOB è BC·OC; OC=1/2; BC = √3/2; quindi l'area di α è π/3−√3/4. L'area di β è pari all'area di BCOD, che è eguale a quella di AOB (√3/4), meno quella di 1/3 del cerchio piccolo, ossia √3/4−(π/4)/3. L'area della figura punteggiata è dunque α+β = π/3−√3/4+√3/4−(π/4)/3 = π/4. E questa è proprio l'area del cerchio piccolo!

# Ecco come è stata realizzata la figura con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; BF=3; PIANO(-1,1, -1,1)
cerchio(0,0, 1, "blue"); cerchio(0,0, 1/2, "blue")
C1=0; C2=1/2; PUNTO(C1,C2, 1)  # 1 sta per "black"
L = sqrt(1-1/4); L; B1=L; B2=1/2; PUNTO(B1,B2, 1)
A1=-L; A2=1/2; linea(A1,A2, B1,B2, 1)
linea(0,0, C1,C2, 1); linea(0,0, B1,B2, 1)
D1=xrot(-30)/2; D2=yrot(-30)/2; PUNTO(D1,D2, 1)
linea(0,0, D1,D2, 1); linea(B1,B2, D1,D2, 1)
# Coloriamo la parte sopra ad AB
F1=function(x) sqrt(1-x^2)
F2 = function(x) 1/2
for(i in 1:3) diseq(F2,F1, -1,1, "blue")
# Coloriamo la parte sotto ad AB. Sia P(x,y) = 1 se x,y sta in questa parte
P = function(x,y) x^2+y^2>1/4 & x^2+y^2<1 & y<1/2 & x>0 & y>tan(60/180*pi)*(x-L)+1/2 & y>D2
for(i in 1:3) diseq2(P,0, "blue")