Ecco un esercizio, molto poco signficativo, opportunamente riscritto, che si trova su un libro di testo diffuso per l'ultimo anno delle scuole superiori. Al di là della sensatezza dei quesiti proposti, prova a risolverlo, e a rappresentarlo graficamente, utilizzando del software.
Rappresenta l'ellisse 5·x²+9·y²−20·x−90·y−160 = 0 e  (a) scrivi l'equazione della retta tangente all'ellisse nel punto sinistro A in cui essa interseca l'asse x,  (b) verifica che tale retta è bisettrice di uno degli angoli formati dalle due rette passanti per A e per i fuochi,  (c) trova il punto P in cui l'asse minore dell'ellisse interseca la retta perpendicolare alla curva in A,  (d) calcola l'area del triangolo avente per vertici P e i punti in cui l'ellisse taglia l'asse x, e determinane il centroide.

Prescindiamo dalla grande stupidità dell'esercizio (eventualmente riflettiamo su di essa ...).
Lo affrontiamo con tecniche generali, senza far riferimento al fatto che in questo caso del tutto particolare vi sono numeri "buoni", forme e collocazioni "comode", ….
Usiamo R - vedi - ma potrebbe usarsi altro software.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
### (a)
F = function(x,y) 5*x^2+9*y^2-20*x-90*y-160
PLANE(-15,15, -10,20); CURVE(F, "blue")
# Conic(w) where w is c(a,b,c,d,e,f) for a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*y+f
U=c(5,0,9,-20,-90,-160); Conic(U)
C1=function(x,y)  5 * x^2 + 0 * x*y + 9 * y^2 + -20 * x + -90 * y + -160 
ellipse;   xC and yC are: 
center:  ( 2 , 5 ) 
In WoframAlpha put 
focus of  5 * x^2 + 0 * x*y + 9 * y^2 + -20 * x + -90 * y + -160 =0 
Then you have the length of the string that draws the Ellipse with 
StringE(xF1,yF1, xF2,yF2)
# Con WoframAlpha ottengo:
# foci | (-4, 5) | (8, 5)
# vertices | (-7, 5) | (11, 5)
# center | (2, 5)
# semimajor axis length | 9
# semiminor axis length | 3*sqrt(5)
# area | 27*sqrt(5)*pi
# perimeter | 49.6117
# focal parameter | 15/2 = 7.5
# eccentricity | 2/3
POINT(xC,yC,"magenta")
xF1=-4; yF1=5; xF2=8; yF2=5
POINT(xF1,yF1,"red"); POINT(xF2,yF2,"red")
G = function(x) F(x,0); xA=solution(G,0,-5,0); xB=solution(G,0,0,10); xA; xB
#  -4   8
POINT(xA,0, "red")
# Per trovare la tangente scrivo l'equazione parametrica della curva, vedi (in questo caso
# particolare in cui l'ellisse ha assi di simmetria paralleli agli assi non servirebbe)
X = function(t) a*cos(t)*cos(Ang)-b*sin(t)*sin(Ang)+xC
Y = function(t) a*cos(t)*sin(Ang)+b*sin(t)*cos(Ang)+yC
a=9; b=3*sqrt(5); Ang=0     # ritraccio la curva per controllare l'eq. param.
para(X, Y, 0,2*pi, "seagreen")
# trovo il valore di t per cui la curva passa per A = (-4,0), e controllo graficamente
t = solution(Y,0, pi,pi*3/2); t; POINT(X(t),Y(t),"brown")
# 3.982661
# param_incl  è l'inclinazione in ° della tang. in P(t); point_incl è la retta per P(t) con incl. d
d = param_incl(X,Y,t); d; point_incl(X(t),Y(t), d, "black")
# -33.69007
# Se voglio trovare la pendenza della tangente ed esprimerla come y=-2/3*(x+4):
frazio(tan(d/180*pi))
# -2/3
### (b)
l2p(xA,0, xF1,yF1, "brown"); l2p(xA,0, xF2,yF2, "brown")
V = angle(c(xA,-1),c(xA,0),c(xF2,yF2))
point_incl(-4,0, -90+V/2, "red")
### (c)
# La perpendicolare alla tangente in A: y=3/2*(x+4)
# L'asse minore: x=xC (x=2)
f1=function(x) 3/2*(x+4); graph1(f1, -20,20, "seagreen"); l2p(2,-20, 2,20, "seagreen")
P=c(2,f1(2)); POINT(P[1],P[2],"seagreen"); P
# 2 9
### (d)
polyl(c(xA,xB,P[1],xA),c(0,0,P[2],0),"black")
areaPol(c(xA,xB,P[1],xA),c(0,0,P[2],0))
# 54
C = centrePol(c(xA,xB,P[1],xA),c(0,0,P[2],0)); C
# 2 3
POINT(C[1],C[2],"black")