La figura A subisce successive trasformazioni, scelte tra rotazioni attorno a generici punti, traslazioni, trasformazioni di scala, simmetrie centrali, simmetrie assiali, fino a diventare la figura E.
(1) Individuare le successive trasformazioni, specificandone i parametri (ad es. per una traslazione indicarne i passi, per una rotazione indicarne centro e ampiezza, per una simmetria assiale indicarne l'asse).
(2) La trasformazione complessiva è affine?
(3) Che rapporto c'è tra l'area di E e quella di A?

(1) • A→B: traslazione; (0,0) viene trasformato in (-3,1): questo è il vettore che rappresenta la traslazione, ovvero la traslazione ha passi Δx = -3, Δy = 1 [volendo posso interpretare A→B anche in altri modi, ad es. come la composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari al vettore (-3,1), uno collocato a 1/4 della distanza da (0,0) a (-3,1), l'altro a 1/4 della distanza da (-3,1) a (0,0)].

• B→C: rotazione ampia 90° (si veda ad es. come cambiano le pendenze dei lati che comprendono l'angolo retto). Per individuare il centro di rotazione posso (vedi fig. a destra) fare l'intersezione degli assi delle corde corrispondenti agli archi di cerchio che descrivono le rotazioni di due qualunque vertici di B; trovo che il centro è (-4,2) [posso interpretare B→C anche diversamente, ad es. come composizione di una simmetria d'asse y = 2 e di una d'asse x = -4].
• C→D: rotazione di 180° attorno a (0,0) o simmetria di centro (0,0) [o, ad es., composizione delle simmetrie di assi x=0 e y=0].

• D→E: trasformazione di scala (x,y) (3x,2y).
(2) A→E è una trasformazione affine; la cosa può essere giustificata in vari modi, a seconda di come si definiscono le trasformazioni affini.
• Se definisco le trasformazioni affini come composizioni di isometrie e trasformazioni di scala, mi basta osservare che tutte le trasformazioni precedenti rientrano in queste categorie.
• Se definisco le trasformazioni affini algebricamente, come trasformazioni del tipo:
/x'\ = /a b\ × /x\ + /h\ con |a b| ≠ 0
\y'/ \c d/ \y/ \k/ |c d|
posso osservare che tutte le trasformazioni precedenti sono esprimibili così e sono quindi affinità e quindi lo è la loro composizione, dato che le affinità formano un gruppo.
• Se le definisco come trasformazioni del tipo:
/x'\ /a b h\ /x\ |a b h|
|y'| = |c d k| × |y| con |c d k| ≠ 0
\1 / \0 0 1/ \1/ |0 0 1|
posso verificare che tutte le trasformazioni precedenti rientrano in questa categoria e, quindi, anche la trasformazione loro composta, che è rappresentata dalla matrice prodotto delle loro matrici, che risulta essere anch'essa di questa forma e con determinante diverso da 0.

(3) A→B, B→C, C→D sono isometrie, quindi conservano le aree; D→E moltiplica le aree per 3·2. Dunque il rapporto tra l'area di E e quella di A è 6.
Per altri commenti: trasorm. geometriche e proiez. tra superfici neGli Oggetti Matematici.

# Come fare i grafici con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
PIANO(-4,12, -12,6); grigliaO(-15:15); grigliaV(-15:15)
x <- c(0, 0, 3,2,0)
y <- c(0,-3,-2,1,0)
spezzata(x,y, "black")
x1 <- x-3; y1 <- y+1; spezzata(x1,y1,"blue")
x2 <- x1+4; y2 <- y1-2; x2p <- -y2; y2p <- x2
x2 <- x2p-4; y2 <- y2p+2; spezzata(x2,y2,"red")
x3 <- -x2; y3 <- -y2; spezzata(x3,y3,"orange")
x4 <- x3*3; y4 <- y3*2; spezzata(x4,y4,"brown")

(1) • A→B: traslazione; (0,0) viene trasformato in (-3,1): questo è il vettore che rappresenta la traslazione, ovvero la traslazione ha passi Δx = -3, Δy = 1 [volendo posso interpretare A→B anche in altri modi, ad es. come la composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari al vettore (-3,1), uno collocato a 1/4 della distanza da (0,0) a (-3,1), l'altro a 1/4 della distanza da (-3,1) a (0,0)].
	• B→C: rotazione ampia 90° (si veda ad es. come cambiano le pendenze dei lati che comprendono l'angolo retto). Per individuare il centro di rotazione posso (vedi fig. a destra) fare l'intersezione degli assi delle corde corrispondenti agli archi di cerchio che descrivono le rotazioni di due qualunque vertici di B; trovo che il centro è (-4,2) [posso interpretare B→C anche diversamente, ad es. come composizione di una simmetria d'asse y = 2 e di una d'asse x = -4]. • C→D: rotazione di 180° attorno a (0,0) o simmetria di centro (0,0) [o, ad es., composizione delle simmetrie di assi x=0 e y=0].
• D→E: trasformazione di scala (x,y) (3x,2y). (2) A→E è una trasformazione affine; la cosa può essere giustificata in vari modi, a seconda di come si definiscono le trasformazioni affini. • Se definisco le trasformazioni affini come composizioni di isometrie e trasformazioni di scala, mi basta osservare che tutte le trasformazioni precedenti rientrano in queste categorie. • Se definisco le trasformazioni affini algebricamente, come trasformazioni del tipo: /x'\ = /a b\ × /x\ + /h\ con \|a b\| ≠ 0 \y'/ \c d/ \y/ \k/ \|c d\| posso osservare che tutte le trasformazioni precedenti sono esprimibili così e sono quindi affinità e quindi lo è la loro composizione, dato che le affinità formano un gruppo. • Se le definisco come trasformazioni del tipo: /x'\ /a b h\ /x\ \|a b h\| \|y'\| = \|c d k\| × \|y\| con \|c d k\| ≠ 0 \1 / \0 0 1/ \1/ \|0 0 1\| posso verificare che tutte le trasformazioni precedenti rientrano in questa categoria e, quindi, anche la trasformazione loro composta, che è rappresentata dalla matrice prodotto delle loro matrici, che risulta essere anch'essa di questa forma e con determinante diverso da 0.
(3) A→B, B→C, C→D sono isometrie, quindi conservano le aree; D→E moltiplica le aree per 3·2. Dunque il rapporto tra l'area di E e quella di A è 6. Per altri commenti: trasorm. geometriche e proiez. tra superfici neGli Oggetti Matematici.