Un modo alternativo per descrivere parabole, ellissi ed iperboli.
(a) Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto
(detto fuoco) e una retta (detta direttrice) fissati. Scrivi l'equazione della parabola
che ha fuoco (q,0) e direttrice x = -q.
(b) Una ellisse è l'insieme dei punti del piano
le cui distanze da due punti fissati (detti fuochi) hanno somma costante. Scrivi l'equazione della ellisse
che ha fuochi (q,0) e (-q,0) e somma delle distanze da essi dei suoi punti pari a k.
(c) Una iperbole è l'insieme dei punti del piano
le cui distanze da due punti fissati (detti fuochi) hanno differenza costante. Scrivi l'equazione della iperbole
che ha fuochi (q,0) e (-q,0) e differenza delle distanze da essi dei suoi punti pari a k.
Vedi qui se vuoi rivedere come
le coniche possono essere ottenute sia intersecando un cono con un piano che come
grafico di generiche equazioni polinomiali in x,y di 2° grado. Negli "approfondimenti"
vedi anche come possono essere descritte in forma polare.
Qui vediamo un ulteriore
modo di descriverle.
(a) y² = 4·q·x
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") BF=3; HF=3 PIANO(-3,3, -3,3) q=1; PUNTO(q,0, "red"); retta2p(-1,-2, -1,2, "red") parabola <- function(x,y) y^2-4*q*x curva(parabola, "black") # la parte superiore della parabola f = function(x) sqrt(4*q*x) x=1.5; y=f(x); PUNTO(x,y, "brown") spezza( c(-1,x,1), c(y,y,0), "brown") # analogamente per x=1, x=1/2, x=0 # Per una animazione vai qui |
(b)
x²/a²
+ y²/b²
= 1 k = 2a, a > b, q = √(a² − b²) PIANO(-3,3, -3,3) q <- 1; k <- 4; a <- k/2; b <- sqrt(a^2-q^2) PUNTI(c(q,-q), c(0,0), "red") ellisse <- function(x,y) x^2/a^2+y^2/b^2-1 curva(ellisse,"black") # la parte superiore dell'ellisse f = function(x) sqrt((1-x^2/a^2)*(b^2)) x=1.5; y=f(x); PUNTO(x,y, "brown") spezza( c(-1,x,1), c(0,y,0), "brown") # analogamente per x=1, x=1/2, x=0 |
(c)
x²/a²
− y²/b²
= 1 k = 2a, q = √(a² + b²) PIANO(-3,3, -3,3) q <- 1; k <- 1; a <- k/2; b <- sqrt(q^2-a^2) iperbole <- function(x,y) x^2/a^2-y^2/b^2-1 curva(iperbole,"black") PUNTI(c(q,-q), c(0,0), "red") # la parte superiore dell'iperbole f = function(x) sqrt((x^2/a^2-1)*(b^2)) x=1.5; y=f(x); PUNTO(x,y, "brown") spezza( c(-1,x,1), c(0,y,0), "brown") # analogamente per x=1, x=1/2, x:-1.5 |