Un modo alternativo per descrivere parabole, ellissi ed iperboli.
(a)  Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto (detto fuoco) e una retta (detta direttrice) fissati.  Scrivi l'equazione della parabola che ha fuoco (q,0) e direttrice x = -q.
(b)  Una ellisse è l'insieme dei punti del piano le cui distanze da due punti fissati (detti fuochi) hanno somma costante.  Scrivi l'equazione della ellisse che ha fuochi (q,0) e (-q,0) e somma delle distanze da essi dei suoi punti pari a k.
(c)  Una iperbole è l'insieme dei punti del piano le cui distanze da due punti fissati (detti fuochi) hanno differenza costante.  Scrivi l'equazione della iperbole che ha fuochi (q,0) e (-q,0) e differenza delle distanze da essi dei suoi punti pari a k.

Vedi qui se vuoi rivedere come le coniche possono essere ottenute sia intersecando un cono con un piano che come grafico di generiche equazioni polinomiali in x,y di 2 grado. Negli "approfondimenti" vedi anche come possono essere descritte in forma polare.
Qui vediamo un ulteriore modo di descriverle.

         

(a)   y² = 4·q·x
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
PIANO(-3,3, -3,3)
q=1; PUNTO(q,0, "red"); retta2p(-1,-2, -1,2, "red")
parabola <- function(x,y) y^2-4*q*x
curva(parabola, "black")
# la parte superiore della parabola
f = function(x) sqrt(4*q*x)
x=1.5; y=f(x); PUNTO(x,y, "brown")
spezza( c(-1,x,1), c(y,y,0), "brown")
# analogamente per x=1, x=1/2, x=0
# Per una animazione vai qui

 

(b)   x²/a² + y²/b² = 1
k = 2a, a > b, q = √(a² − b²)
PIANO(-3,3, -3,3)
q <- 1; k <- 4; a <- k/2; b <- sqrt(a^2-q^2)
PUNTI(c(q,-q), c(0,0), "red")
ellisse <- function(x,y) x^2/a^2+y^2/b^2-1 
curva(ellisse,"black")
# la parte superiore dell'ellisse
f = function(x) sqrt((1-x^2/a^2)*(b^2))
x=1.5; y=f(x); PUNTO(x,y, "brown")
spezza( c(-1,x,1), c(0,y,0), "brown")
# analogamente per x=1, x=1/2, x=0

 

(c)   x²/a² − y²/b² = 1
k = 2a, q = √(a² + b²)
PIANO(-3,3, -3,3)
q <- 1; k <- 1; a <- k/2; b <- sqrt(q^2-a^2)
iperbole <- function(x,y) x^2/a^2-y^2/b^2-1 
curva(iperbole,"black")
PUNTI(c(q,-q), c(0,0), "red")
# la parte superiore dell'iperbole
f = function(x) sqrt((x^2/a^2-1)*(b^2))
x=1.5; y=f(x); PUNTO(x,y, "brown")
spezza( c(-1,x,1), c(0,y,0), "brown")
# analogamente per x=1, x=1/2, x:-1.5