Un elemento di un particolare meccanismo oscilla in su e in giù; sappiamo che, usando il sistema di riferimento a fianco, la sua posizione y in funzione del tempo t (in una fissata unità di misura) è descritta dalla equazione y = cos(2t).
Il meccanismo viene a sua volta inserito all'interno di un macchinario che lo fa avanzare verso destra secondo l'equazione x = t e alzare secondo l'equazione y = t.
Descrivi la traiettoria percorsa dall'elemento oscillante e rappresentala con qualche software.

All'istante t=0 l'elemento oscillante ha y = cos(0) = 1. Il meccanismo ha x=0, y=0. Quindi l'elemento è in (0,1).
Nel tempo π/4 l'elemento arriva a y=0 rispetto al meccanismo (cos(2π/4) = cos(π/2) = 0), ma nel frattempo il meccanissmo si è spostato a destra e in alto di π/4, per cui l'elemento si trova in (π/4,π/4).
Trascorso il tempo π l'elemento ha compiuto un'intera oscillazione in giù e in su, ritornando nella posizione iniziale rispetto al meccanismo (cos(2π) = cos(0) = 1), ma nel frattempo il meccanismo è avanzato verso destra di π e verso l'alto di π, per cui l'elemento si trova in (π,1+π).
In definitiva, l'elemento descrive una traiettoria che oscilla attorno alla retta y=x (che è la traiettoria del meccanismo), e la attraversa quando cos(2t) = 0 (ovvero quando esso ha y=0 rispetto al meccanismo), cioè per t = π/4, 3/4π, 5/4π, ….

A questo punto siamo in grado di tracciare approssimativamente la traiettoria. Per un disegno più preciso possiamo ricorrere a un programma (ad es. R) usando la descrizione parametrica: x = t, y = cos(2t) + t, o questo script, ottenendo una rappresentazione grafica simile a quella soprastante.

# Per R, vedi
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
TICKx=pi/4; TICKy=1; PLANE2(0,13, 0,13)
a=c(0,5,10); underY(a,a)
underX(0,0)
underX(bquote(pi),pi); underX(bquote(2*pi),2*pi)
underX(bquote(3*pi),3*pi); underX(bquote(4*pi),4*pi)
f = function(t) cos(2*t)+t; graph2(f, 0,14, "blue")
g = function(x) x; graph1(g, 0,14, "red")

Altrimenti si può usare online www.wolframalpha.com. Vedi qui

plot y=cos(2*t)+t, y=t, t=PI, t=2*PI, t=3*PI, t=4*PI, t=5*PI, 0 < t < 14, 0 < y < 14

Per commenti:

tangenti e curve neGli Oggetti Matematici