I cerchi raffigurati a fianco (i centri hanno coordinate intere e i raggi hanno lunghezza intera) si intersecano nella figura colorata.  Trova l'area di questa figura, eventualmente usando del sofware per svolgere i calcoli.  Controlla la sensatezza della risposta con una stima.

Facciamo subito una stima; l'area del poligono con le ascisse e le ordinate seguenti: x = c(6.2, 7.5, 8,8, 6); y = c(1.6, 3, 4, 5.8, 4) Faccio i calcoli con R (vedi), ma potrei farli a mano: areaPol(x,y) Ottengo 4.5. Vedo dalla figura che questo valore ha senso (l'intersezione è ampia poco più di 4 quadretti). Vediamo come fare il calcolo; l'idea può essere questa:  trovare le intersezioni dei due cerchi, fare la somma dei due corrispondenti settori circolari (colorati in blu e rosso a fianco) e togliere l'area del quadrangolo che congiunge i due centri e i due punti di intersezione.

Non è banale fare i calcoli a mano. Facciamoli subito con R.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")  # non serve se hai già usato o memorizzato il comando
BF=3.5; HF=3
PLANE(0,12, 0,10); POINT(4,5, "brown"); POINT(9,3, "brown")
circle(4,5, 4, "brown"); circle(9,3, 3, "brown")  # ho tracciato cerchi e centri
D = function(x,y) (x-4)^2+(y-5)^2 < 4^2 & (x-9)^2+(y-3)^2 < 3^2
Diseq2(D, 0, "brown")        # ho disegnato l'intersezione; calcolo i punti di intersez.
Q = circle_circle(4,5, 4, 9,3, 3); Q
# 7.919459 5.798648  6.287437 1.718593
line(4,5, Q[1],Q[2], "brown"); line(4,5, Q[3],Q[4], "brown")
line(9,3, Q[1],Q[2], "brown"); line(9,3, Q[3],Q[4], "brown")
# ho tracciato il quadrangolo
dirArrow1(4,5, Q[1],Q[2]); dirArrow1(4,5, Q[3],Q[3])
#   11.5172                    304.88
dirArrow1(9,3, Q[1],Q[2]); dirArrow1(9,3, Q[3],Q[4])
#   111.1113                   205.2859
ang1 = dirArrow1(4,5, Q[1],Q[2])-dirArrow1(4,5, Q[3],Q[4])+360; ang1
#  66.63721      l'angolo "rosso"
ang2 = dirArrow1(9,3, Q[3],Q[4])-dirArrow1(9,3, Q[1],Q[2]); ang2
#  94.17465      l'angolo "blu"
# Calcolo l'area del quadrangolo
A1 = areaPol( c(4,Q[3],9,Q[1]),c(5,Q[4],3,Q[2]) ); A1    # 11.83216
# e dei due settori cricolari
A2 = pi*4^2*ang1/360; A2                                 #  9.30431
A3 = pi*3^2*ang2/360; A3                                 #  7.39646
# l'area cercata (anche con più cifre):
A2+A3-A1; more(A2+A3-A1)
#   4.86861   4.86861040272624
#
#  Ecco come si potrebbe arrivare senza usare R per trovare le ampiezze dei settori:
# uso la formula di Erone: Area = √((a+b+c)·(a+b-c)·(a-b+c)·(-a+b+c))/4
# area del quadrilatero = 2*area del triangolo
d = sqrt(2^2+5^2); d   # distanza tra i centri
A = 2*sqrt((4+3+d)*(4+3-d)*(4-3+d)*(-4+3+d))/4; A
# area dei due settori circolari:
S1 = 4^2*acos( (4^2+d^2-3^2)/(2*4*d) ); S1
S2 = 3^2*acos( (3^2+d^2-4^2)/(2*3*d) ); S2
# l'area cercata
S1+S2-A; more(S1+S2-A)
#   4.86861   4.86861040272624    Gli stessi valori: OK