Un corpo descrive una traiettoria circolare, con velocità di rotazione costante di 1 giro al minuto. Un secondo corpo ruota attorno al primo con velocità di rotazione costante di 2 giri al minuto e orbita di raggio dimezzato. Ad un certo istante i due corpi sono nella posizione raffigurata a lato. (1) Cerca di schizzare la traiettoria del secondo corpo. (2) Descrivila poi con opportune formule, considerando un sistema di riferimento con l'origine (0,0) nel centro di rotazione del primo corpo, e confronta questa descrizione con quanto hai tracciato. (3) Traccia, infine, la traiettoria del secondo corpo usando qualche software.

(1) Realizzando (a mano) una figura come quella a lato è facile capire com'è la forma della traiettoria. In 1/4, /1/2, … giro del secondo corpo il primo ne fa 1/8, 1/4, …. (2) Supponendo che sia 2 il raggio dell'orbita del primo corpo (pallino viola nel disegno a lato), possiamo descriverla con: x1 = cos(t)·2, y1 = sin(t)·2  (t è il tempo misurato con qualche unità di misura) Il secondo corpo (pallino marrone) ha orbita di raggio 1 e centro (x1,y1) e velocità di rotazione doppia: x = x1 + cos(t·2), y = y1 + sin(t·2). Ovvero :  x = cos(t)·2 + cos(t·2), y = sin(t)·2 + sin(t·2) per t=0 abbiamo x=3, y=0; per t=π (dopo mezzo giro del primo corpo, ovvero dopo 30 s rispetto alla posizione raffigurata nel testo) x=-1, y=0; entrambi in accordo con la figura schizzata a mano.

(3) A sinistra la traiettoria del secondo corpo ottenuta col computer usando la descrizione parametrica. La figura è stata tracciata col software online WolframAlpha coi comandi: parametric plot ( cos(t)*2+cos(t*2), sin(t)*2+sin(t*2) ) La curva è in accordo con la figura "tracciata a mano". Con  questo script  ottieni facilmente una rappresentazione grafica simile. Posso tracciarla anche con R coi comandi: source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f <- function(t) cos(t)*2+cos(t*2) g <- function(t) sin(t)*2+sin(t*2) PLANE(-2,4, -3,3); param(f,g, 0,2*pi, "blue") # per non vedere la griglia basta battere PLANEww(...)

Per commenti: tangenti e curve neGli Oggetti Matematici

Ecco come vedere la costruzione della figura:

BF=3; HF=3
BOXW(-3,3, -3,3)
f <- function(t) cos(t)*2+cos(t*2); g <- function(t) sin(t)*2+sin(t*2)
h <- function(t) cos(t)*2; k <- function(t) sin(t)*2
t1 <- 0; t2 <- pi*2; punti <- 200; dt <- (t2-t1)/punti
for (t in seq(t1,t2,dt)) { tt <- c(t,t+dt); ttt <- seq(t1,t,dt)
  BOX()    # metti # davanti a BOX() se non vuoi vedere la griglia
  symbols(h(t), k(t), circles=1, inches=FALSE, add=TRUE, fg="brown")
  points(h(t),k(t)); points(f(t),g(t))
  lines(cos(tt)*2,sin(tt)*2,col="red",lwd=3);
  lines(f(tt),g(tt),col="blue",lwd=3)
  wait(0.2)
  points(f(t),g(t),col="white")
  points(cos(t)*2,sin(t)*2,col="white")
  symbols(h(t), k(t), circles=1, inches=FALSE, add=TRUE, fg="white")
  lines(h(ttt),k(ttt),col="red",lwd=3)
  lines(f(ttt),g(ttt),col="blue",lwd=3) }