esercizi - piano

Determina esattamente le tangenti alla curva rappresentata (x=t(t+1), y=t³) nei punti che corrispondono a t = 0, a t = 1/2 e a t = –1/2.

• A t = 0 corrisponde (0,0). La retta (0,0)P(t) (t0) ha pendenza:
3 2 Δy t - 0 t —— = —————————— = ————— Δx t(t+1) - 0 t+1
che tende a 0/1 = 0 per t → 0.
Quindi in (0,0) la tangente ha pendenza 0, ossia è l'asse x (y=0).

•A t = 1/2 corrisponde (3/4,1/8). La retta (3/4,1/8)P(t) (t0) ha pendenza:
3 3 2 Δy t - 1/8 t - 1/8 t + t/2 + 1/4 —— = ———————————— = ——————————— = ————————————— Δx t(t+1) - 3/4 2 t + 3/2 t + t - 3/4
[ho diviso i termini per t-1/2, per il quale sono entrambi divisibili in quanto si annullano per t=1/2]
che tende a (1/4+1/4+1/4)/(1/2+3/2) = 3/8 per t → 1/2.
Quindi in (3/4,1/8) la tangente ha pendenza 3/8, ossia è la retta: y = 3/8(x-3/4)+1/8

•A t = -1/2 corrisponde (-1/4,-1/8). La retta (-1/4,-1/8)P(t) (t0) ha pendenza:
3 3 2 Δy t + 1/8 t + 1/8 t - t/2 + 1/4 —— = ———————————— = ——————————— = ————————————— Δx t(t+1) + 1/4 2 t + 1/2 t + t + 1/4
[ho diviso i termini per t+1/2, per il quale sono entrambi divisibili in quanto si annullano per t=-1/2]
per t → -1/2 il primo termine tende a 1/4+1/4+1/4 = 3/4 mentre il secondo tende a 0: la pendenza tende ad essere infinita; ciò significa che la retta tangente è verticale.
Quindi in (-1/4,-1/8) la tangente è la retta: x = -1/4.
Ovviamente, in alternativa, potrei anche, "scambiando gli assi", considerare Δx/Δy = (t+1/2)/(t²+t/2+1/4) che tende a 0 per t che tende a −1/2, e concludere che la tangente è verticale.

[Se conosci già il concetto di derivata, puoi procedere anche in questo modo:
dx / dt = 2t+1, dy / dt = 3t², dy / dx = 3t²/(2t+1); ad es. per t = 1/2 abbiamo dy/dx = 3/8, come trovato sopra]
Per commenti: Tangenti e curve neGli Oggetti Matematici, sia per le curve in forma parametrica che per le loro tangenti; per le tangenti vedi anche la voce Differenziale e derivata.

# Come tracciare il grafico con R (usiamo per semplicità una
# libreria di programmi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") 
BF=4; HF=4
x <- function(t) t*(t+1); y <- function(t) t^3
PIANO(-1/2,1, -1,1/2)
param(x,y, -3,3, "blue")
PUNTO(x(t),y(t),"red")
PUNTO(x(0),y(0),"red"); scrivi(x(0),y(0)+0.1,"t=0")
PUNTO(x(1/2),y(1/2),"red"); scrivi(x(1/2)-0.1,y(1/2)+0.1,"t=1/2")
PUNTO(x(-1/2),y(-1/2),"red"); scrivi(x(-1/2)+0.25,y(-1/2)-0.1,"t=-1/2")
f1 <- function(x) 0; grafico(f1,-0.5,1, 0)
f2 <- function(x) 3/8*(x-x(1/2))+y(1/2); grafico(f2,-0.5,1, 0)
f3 <- function(x,y) x-x(-1/2); curva(f3, 0)
t = c(0,1/2,-1/2); PUNTO(x(t),y(t),"red")

• A t = 0 corrisponde (0,0). La retta (0,0)P(t) (t0) ha pendenza: 3 2 Δy t - 0 t —— = —————————— = ————— Δx t(t+1) - 0 t+1 che tende a 0/1 = 0 per t → 0. Quindi in (0,0) la tangente ha pendenza 0, ossia è l'asse x (y=0).
•A t = 1/2 corrisponde (3/4,1/8). La retta (3/4,1/8)P(t) (t0) ha pendenza: 3 3 2 Δy t - 1/8 t - 1/8 t + t/2 + 1/4 —— = ———————————— = ——————————— = ————————————— Δx t(t+1) - 3/4 2 t + 3/2 t + t - 3/4 [ho diviso i termini per t-1/2, per il quale sono entrambi divisibili in quanto si annullano per t=1/2] che tende a (1/4+1/4+1/4)/(1/2+3/2) = 3/8 per t → 1/2. Quindi in (3/4,1/8) la tangente ha pendenza 3/8, ossia è la retta: y = 3/8(x-3/4)+1/8
•A t = -1/2 corrisponde (-1/4,-1/8). La retta (-1/4,-1/8)P(t) (t0) ha pendenza: 3 3 2 Δy t + 1/8 t + 1/8 t - t/2 + 1/4 —— = ———————————— = ——————————— = ————————————— Δx t(t+1) + 1/4 2 t + 1/2 t + t + 1/4 [ho diviso i termini per t+1/2, per il quale sono entrambi divisibili in quanto si annullano per t=-1/2] per t → -1/2 il primo termine tende a 1/4+1/4+1/4 = 3/4 mentre il secondo tende a 0: la pendenza tende ad essere infinita; ciò significa che la retta tangente è verticale. Quindi in (-1/4,-1/8) la tangente è la retta: x = -1/4. Ovviamente, in alternativa, potrei anche, "scambiando gli assi", considerare Δx/Δy = (t+1/2)/(t²+t/2+1/4) che tende a 0 per t che tende a −1/2, e concludere che la tangente è verticale.