Moto di B: x = 1/(t+1), y = 1/(2t-1)
P'(t) = (-1/(t+1)², -2/(2t-1)²)
Pendenza della traiettoria all'istante t, ossia in P(t):
2/(2t-1)²/(1/(t+1)²) = 2 ( (t+1) / (2t-1) )²
che, tenendo conto che t+1 = 1/x, 2t-1=1/y, posso esprimere anche in funzione delle coordinate "spaziali", indipendentemente dalla coordinata "temporale", come:
2 (y/x)²
Potevo arrivare a questa conclusione anche esprimendo la curva come grafico di una funzione di x. Infatti da:
t = 1/x-1 = (1-x)/x e y = 1/(2t-1) ricavo y = -x/(-2+3x)
Da qui y' = 2/(-2+3x)² = 2/(-x/y)² = 2 (y/x)²
La curva è un'iperbole, infatti:
y = -x/(-2+3x) = -1/3 - 2/3/(-2+3x) = -1/3 - 2/9/(-2/3+x) è l'iperbole y = -2/9/x traslata di Δx = 2/3 e Δy = -1/3.
Potevo individuare gli asintoti anche dall'equazione parametrica studiando il limite di P(t) per t → 1/2 e per t → -1.
In vero, la traiettoria non passa per (0,0) in quanto sarebbe la posizione a cui la particella tenderebbe per t che va all'infinito (il punto verso cui si dirigerebbe se t fosse il tempo) e per t che va a meno infinito (la posizione remota da cui "arriverebbe").
Sotto sono tracciate alcune delle posizioni P(t) per diversi t. Non si tratta di un moto che una particella può realmente fare, ma di due possibili moti: la particella partirebbe dai pressi dell'origine, proseguirebbe lungo l'arco di curva in cui c'è P(-2) e poi si allontanerebbe sempre più dall'asse y fino poi, all'istante t=-1, passare improvvisamente dal lato opposto rispetto all'asse y e incominciare a muoversi lungo l'arco in cui c'è P(0), allontanandosi sempre più dall'asse x fino, all'istante t=1/2, passare improvvisamente dalla parte opposta rispetto all'asse x e incominciare a muoversi lungo l'arco in cui c'è P(1), riavvicinandosi, man mano, all'origine.

A lato è evidenziata anche la direzione che la particella tende ad assumere arrivando (o tornando indietro) nell'origine: si veda il segmento con pendenza 1/2 che passa per l'origine. Infatti per t → ∞ e t → -∞ P'(t) → 1/2