A lato sono tracciate tre curve che in coordinate polari hanno equazione  ρ = A + B·cos(θ), con A e B costanti positive.  Si tratta di curve che sono casi particolari della curva nota come lumaca di Pascal (studiata da Etienne Pascal, padre di Blaise). La curva rossa è nota anche come cardioide.  Associa ad ogni curva i valori di A e di B (in tutti i casi θ varia tra 0 e 2π).

Le due curve più grandi (blu e rossa) passano per l'origine, la terza (verde) no. La più grande di tutte (blu) ci passa due volte. Il coseno varia tra −1 ed 1. Tutto questo ci consente di capire che la curva più piccola ha A > B, che quella intermedia ha A = B e che quella maggiore ha A < B. Veniamo alla curva blu. Per θ=0 abbiamo ρ=A+B=7 (il punto sul simiasse positivo orizzontale ha ρ=7), per θ=π/2 abbiamo A=2 (il punto sul simiasse positivo verticale ha ρ=2), da cui ricavo che A=2, B=5.

Anche negli altri due casi abbiamo A=2 (il punto sul simiasse positivo verticale ha sempre ρ=2). Nel caso della curva rossa per θ=0 ho ρ=A+B=4, e quindi B=2.
Nel caso della curva verde per θ=0 ho ρ=A+B=2.5, e quindi B=1/2 (non ha punti angolosi, ma non è un cerchio, e neanche un'ellisse).

Per altri commenti: tangenti e curve neGli Oggetti Matematici

Qui sotto i comandi per realizzare le tre curve con R (copia le righe e incollale):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
PLANE(-2,7, -4.5,4.5)
ro <- function(t) A+B*cos(t)
A=2; B=5;   polar(ro, 0,2*pi, "blue")
A=2; B=2;   polar(ro, 0,2*pi, "red")
A=2; B=1/2; polar(ro, 0,2*pi, "green3")