F(z) = z2 + z + 1.
Segna sul grafico i punti immagine di (1,0) e di (0,1) (ossia i punti che si ottengono applicando F a tali punti).
Individua quali sono i punti del cerchio che hanno come immagine sé stessi.
| A lato sono tracciati il cerchio di centro (0,0) e raggio 1 e la figura che si ottiene da esso mediante la trasformazione F così definita, usando la rappresentazione complessa dei punti: F(z) = z2 + z + 1. Segna sul grafico i punti immagine di (1,0) e di (0,1) (ossia i punti che si ottengono applicando F a tali punti). Individua quali sono i punti del cerchio che hanno come immagine sé stessi. |
|
F(1) = 3: il punto (1,0) viene trasformato in (3,0).
F(– i) = –1 + i + 1 = i: il punto (0,1) viene trasformato in sé stesso.
Per trovare gli altri punti che sono trasformati in sé stessi risolvo l'equazione
z2 + z + 1 = z:
z2 + 1 = 0
z2 = –1
z = i [punto (0,1) già trovato] OR z = – i [punto (0,–1)]
| La figura a lato illustra come si possono trovare i trasformati dei punti senza calcoli: – fare "alla 2" equivale a raddoppiare la direzione (in quanto z "sta" sul cerchio di raggio 1) – fare "+z" equivale a sommare il vettore z – fare "+1" equivale a sommare il vettore 1. |  |
Le figure realizzate col software online WolframAlpha.
L'idea è questa: rappresento il cerchio in forma trigonometrica,
batto: (cos(t)+i*sin(t))^2 + cos(t)+i*sin(t) + 1
ottengo: cos(t) + cos(2 t) + i sin(t) (2 cos(t) + 1) + 1
batto:
parametric plot (cos(t), sin(t)), parametric plot ( sin(t)-cos(2*t)+1, (2*sin(t)+1)*cos(t) )
ottengo:
