Da un quadrato di cartone con lato di 50 cm ritaglio quattro triangoli in modo da costruire una piramide con tutti gli spigoli di eguale lunghezza.  Come devo effettuare i tagli?  Qual è il volume della piramide?    
    Con semplici ragionamenti (vedi la figura a sinistra) ricavo le misure degli angoli indicati. Ciò risponde alla prima domanda.
L+2H (in centimetri) è pari alla diagonale, 50·√2.  H = L·√3/2L+L·√3 = 50·√2.  L = 50·√2/(1+√3).  K = √(L²−D²), dove D = 50·√2/2.  Dunque il volume è V = L²·K/3. I calcoli (con R):
L = 50*sqrt(2)/(1+sqrt(3)); H = L*sqrt(3)/2; K = sqrt(H^2-(L/2)^2); V = L^2*K/3; V
4086.509 cm³, o, meglio, 4090 cm³.
   

Come poteva realizzarsi la figura con WolframAlpha (calcolo di L e dell'altezza del vertice basso del quadrato interno, tracciamento della figura):
50*sqrt(2)/(1+sqrt(3))
    25.881904...
sqrt( (50*sqrt(2)/(1+sqrt(3)))^2 - 25^2)
    6.698729...
polygon (0,0),(25,6.7),(50,0),(43.3,25),(50,50),(25,43.3),(0,50),(6.7,25),(0,0); polygon (25,6.7),(43.3,25),(25,43.3),(6.7,25)
   

# Per curiosità, come è stata realizzata la figura con R:
PLANEww(-4.2,4.2, -4.2,4.2)
polyC(c(0,3,0,-3),c(-3,0,3,0),"yellow")
L = point_point(0,3, 3,0)
P = circle_circle(0,3, L, 3,0,L); P
# 4.098076  4.098076 -1.098076 -1.098076
polyC(c(3,P[1],0),c(0,P[1],3),"yellow")
polyC(c(-3,-P[1],0),c(0,P[1],3),"yellow")
polyC(c(3,P[1],0),c(0,-P[1],-3),"yellow")
polyC(c(-3,-P[1],0),c(0,-P[1],-3),"yellow")
polyC(c(P[1],-P[1],-P[1],P[1]),c(P[1],P[1],-P[1],-P[1]),0)
undery("50 cm")