Considera un cubo di lato 1 e un triangolo che abbia come vertici tre vertici del cubo tali che, due a due, non appartengano allo stesso spigolo. Quanto vale l'area di tale triangolo?

Per prima cosa cerchiamo di capire come è fatto il triangolo, e se effettivamente l'area può assumere un unico valore. Se partiamo dal vertice A (vedi figura a lato) dobbiamo prendere il successivo vertice su una delle facce che hanno A come vertice, e opposto ad A, come nei casi B e C evidenziati: non possiamo prenderlo su uno spigolo che ha A come estremo né prendere D, in quanto altrimenti non sapremmo come prendere il terzo vertice (dovrebbe per forza stare su uno spigolo che ha D o A come estremo). Dunque il nostro triangolo deve essere della stessa forma del triangolo ABC raffigurato, ossia avere come lati tre diagonali delle facce.     Si tratta, dunque, di un triangolo equilatero di lato √2. La sua area è pari (vedi figura a lato) √2/2·H dove H è la altezza del triangolo, che vale √2·sin(30°) = √2·√3/2 (il valore di H può essere trovato anche senza usare sin e ricorrendo direttamente al teorema di Pitagora).     In definitiva il triangolo cercato ha area √2/2·√2·√3/2 = √3·√2·√2/2/2 = √3·2/2/2 = √3/2