Qual è la forma dell'ombra di una palla appoggiata su un tavolo alla luce del sole?  E quella se la palla è illuminata da una lampadina (come nel disegno a fianco)?  Perché?

Sia che la luce provenga dal sole, con raggi praticamente paralleli, sia che provenga da una lampadina, essa illumina una parte di palla delimitata da un cerchio con asse parallelo ai raggi del sole o passante per la lampadina.     Nel primo caso, se i raggi di sole fossero perpendicolari al tavolo, otterremmo un cerchio con lo stesso raggio della sfera, altrimenti un'ellisse (vedi).     Nel secondo caso, se la lampadina fosse posta sopra il centro della sfera, otterremmo un cerchio più grande, altrimenti un'ellisse (vedi qui e qui).     Volendo, pensando ad un tavolo dalla superficie sottile e parzialmente trasparente (vedi la figura sotto a destra), possiamo dimostrare che la palla si appoggia su uno dei fuochi dell'ombra e l'altro fuoco è toccato da un'ipotetica palla che tocchi il tavolo da sotto e che si adattatti esattamente allo stesso cono.     Ecco la dimostrazione (seguendo la traccia di Dandelin, matematico belga del 19° secolo):

Sia A è un generico punto dell'ellisse.     Traccio la semiretta che parte dalla lampadina e passa per A; siano D ed E i punti delle sfere in cui la semiretta le tocca.     Siano B e C i punti in cui le due sfere sono tangenti al tavolo; traccio i segmenti BA e AC.  AB=AD in quanto i due segmenti hanno un vertice in comune e negli altri due vertici sono tangenti alla sfera piccola.     Per gli stessi motivi AC=AE (anche se nella visione prospettica sembrano di dimensioni diverse).     Vogliamo dimostrare che, al variare di A, AB+AC è costante (ossia che B e C sono i fuochi dell'ellisse).  Ma questa è una conseguenza del fatto che AB+AC=AD+AE e che AD+AE = DE, al variare di A ha sempre la stessa lunghezza.