(a) A lato è riprodotta la fotografia di una piramide a 5 facce, disposta opportunamente in un sistema di riferimento ortogonale e monometrico. Sapendo che le facce triangolari sono tra loro uguali, determina il volume della piramide. Motiva il tuo procedimento. (b) Vi può essere una piramide di volume 1, con le facce triangolari non tutte uguali, che in fotografia appaia allo stesso modo? (c) Come deve essere disposto un piano in modo che una figura disegnata su di esso, fotografata dalla stessa posizione in cui è stata fotografata la piramide, nella foto appaia trasformata secondo una trasformazione affine? (d) Quali conoscenze, competenze o atteggiamenti sono utili per affrontare quesiti come questo?

(a) Dal fatto che il sistema è momometrico e che gli angoli che si vedono formati dalle coppie di assi sono eguali, deduco che lo sguardo è diretto come la retta x = y = z, ossia come la retta che sta al centro del primo ottante. Quindi anche il vertice superiore della piramide, che si vede sovrapposto all'origine, sta su tale retta, ossia ha le tre coordinate eguali. La piramide ha base quadrata, dato che i suoi vertici di base sono (1,0), (4,2), (2,4) e (0,1). Il vertice in alto della parabola deve proiettarsi verticalmente sul centro di tale quadrato, ossia nel punto (1,1,0), quindi, dovendo stare anche sulla retta x=y=z, tale vertice è (1,1,1). A questo punto conosciamo pefettamente la nostra piramide.
La distanza del vertice (1,1,1) dalla base della piramide è 1; il lato della base della piramide è √2, quindi il volume della piramide è √2·√2·1/3 = 2/3 (l'area di base potevo valutare che è 2 anche vedendo che è pari a 8 quadrati di area 1/4).
(b) Basta che il vertice abbia le tre coordinate eguali (in modo da essere proiettato sull'origine) e abbia quota Q tale che √2·√2·Q/3 = 1, ossia che Q = 3/2: il punto è (3/2, 3/2, 3/2).
(c) Occorre che il piano sia perpendicolare alla retta x=y=z, ossia che sia parallelo al piano passante per (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1): la figura appare scalata. Non è possibile ottenere, mediante una proiezione centrale (come quella della foto), trasformazioni affini più generali.
(d) Si veda la voce proiezioni.

Puoi verificare le soluzioni copiando in R questo file.