A lato è raffigurato un settore sferico. h è l'altezza della
corrispondente calotta sferica.
Noti h e r, quanto vale a?
Quanto vale il volume del settore sferico? Quanto quello della calotta?
a, per il teorema di Pitagora, vale √(r²−(r−h)²)
= √(h(2r−h))
So (vedi la voce
Rappresentazioni cartografiche) che la
superficie della calotta è pari a quella laterale del cilindro che la circoscrive,
ossia 2·π·r·h.
Il volume del settore sferico è pari a quello di un cono avente per base la
superficie della calotta e per altezza il raggio
(vedi la voce volume), quindi vale
2·π·r·h·r/3 = 2/3·π·r²·h.
Il volume della calotta lo ottengo togliendo a quello del settore quello del cono raffigurato:
2/3·π·r²·h
−
1/3·π·a²·(r−h)
=
2/3·π·r²·h
−
1/3·π·h(2r−h)·(r−h)
=
2/3·π·r²·h
−
1/3·π·(h³−3h²r+2hr²)
=(3r−h)·h²·π/3.
Per altri aspetti puoi vedere
Spherical cap in WolframAlpha.