Qual è l'area del triangolo di vertici (1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)?

Il modo più semplice per procedere è pensare al triangolo come metà del parallelogramma che ha per lati i vettori (1,0,1)−(1,1,0) e (1,1,0)−(0,1,1). Questo ha area pari al modulo del prodotto vettoriale di questi due, ossia al modulo di:

|
|
|
|
|		   i   j    k  |
|
|
|
|		  = i + j − k
0-11
10-1

Questo vale √(1+1+1) = √3, e quindi l'area del triangolo è √3/2.

Potevo anche procedere verificando che il triangolo è equilatero, di lato √2, ad esempio usando questo semplice script:


ecc.

  Per altri commenti: lo spazio tridimensionale neGli Oggetti Matematici.

 
La figura col software online WolframAlpha:

triangle (1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)

 

I calcoli con R:
u <- c(0, -1, 1); v <- c(1, 0, -1)
# Definisco il prodotto vettoriale:
prodv <- function(x,y) c(x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1])
prodv(u,v)
[1]   1 1 1
 dist <- function(P1,P2) sqrt(sum((P1-P2)^2))
dist(0, prodv(u,v) )^2
[1]   3
 dist(0, prodv(u,v) )/2
[1]   0.8660254