Problema "ideale". Un verme striscia avanzando in 1 h di 1 m. Poi in 1/10 di tempo (1/10 h) avanza di 1/100 di strada (1/100 m). Poi in 1/10 di tempo rispetto a prima avanza di 1/100 di strada rispetto a prima. E così via.  Prima o poi il verme si fermerà?  E, se si fermasse, quanta strada avrebbe percorso?

Il verme avanza per 1 h, poi per 0.1 h, poi per 0.001 h, poi per 0.0001 h, …. Il tempo per cui avanza, in ore, è 1.111…. Dunque alla fine si femerà!
E quanta strada avrà percorso? All'inizio, in metri, avanza di 1, poi di 0.01, poi di 0.0001, …. In tutto la strada di cui avanza, in metri, è 1.010101….

Volendo posso esprimere questi valori sotto forma di frazione.
1.111… = 1+0.111… = 1+1/9 = 9/9+1/9 = 10/9.
1.010101… = 1+0.010101… = 1+1/99 = 99/99+1/99 = 100/99.

Un esempio analogo:

La tartaruga ha 1 km di vantaggio sul pieveloce Achille e la sua velocità è un decimo di quella di Achille. Quando Achille ha percorso 1 km la tartaruga nel frattempo ha percorso 0.1 km e si trova a 1.1 km dalla posizione iniziale di Achille. Quando Achille, percorrendo altri 0.1 km, raggiunge questa nuova posizione della tartaruga essa nel frattempo ha percorso altri 0.01 km, e si trova a 1.11 km dalla posizione iniziale di Achille.
• In che punto Achille raggiungerà la tartaruga?  • Ma arriverà mai l'istante in cui la raggiungerà?

Questo è un problema che aveva posto il filosofo greco Zenone, circa nel 450 a.C., senza avere gli strumenti per risolverlo (gli antichi Greci, a differenza dei Babilonesi [vedi], non disponevano di un sistema di scrittura dei numeri che consentisse di esprimere con precisione via via migliore le grandezze). Ora diremmo che Achille raggiunge la tartaruga quando ha percorso 1.111… km.