1) Tiro con una corda un anello che scorre lungo un'asta. La corda mantiene l'inclinazione α rispetto all'asta. Sia s il vettore spostamento dell'anello e F la forza con cui tiro. Qual è il lavoro che compio?
2) La forza peso F fa scivolare lungo un piano di inclinazione α con attrito trascurabile un oggetto per uno spostamento s. Qual è il lavoro che produce la forza peso?
3) Sto cercando di tirare una leva esercitando una forza F lungo una direzione inclinata di α rispetto alla leva. Sia R il vettore OA, dove O è il punto attorno a cui dovrebbe ruotare la leva e A è il punto in cui impugno la leva. Quanto vale il momento che sto esercitando?

1) Posso procedere in due modi: considerare il prodotto tra l'intensità della componente di F lungo la retta lungo cui scorre l'anello e la lunghezza dello spostamento; la componente ha intensità F·cos(α), dove F è l'intensità (modulo) di F; quindi il lavoro è F·s·cos(α), dove s è l'intensità (modulo) di s. Oppure si può considerare il prodotto tra l'intensità della forza e l'avanzamento dell'anello lungo la direzione della forza; la componente dello spostamento lungo la direzione della forza ha intensità s·cos(α); anche procedendo in questo modo otteniamo F·s·cos(α). Questo valore, indicato in genere F·s, è il cosiddetto prodotto scalare tra i vettori F e s.

Se conoscessimo le intensità (Fx e Fy) delle componenti di F e quelle (sx e sy) di s lungo gli assi x e y, potremmo anche calcolare: Fxsx + Fysy

Infatti (vedi fig. sopra a destra) la componenti lungo una retta della somma di due vettori è pari alla somma delle componenti lungo la stessa retta, per cui (indicando con v_x e v_y le componenti lungo gli assi del vettore v e con v_x e v_x le loro intensità), abbiamo:
F·s = (F_x+F_y)·s = F_x·s + F_y·s = F_x·(s_x+s_y) + F_y·(s_x+s_y) = F_x·s_x + F_x·s_y + F_y·s_x + F_y·s_y = F_x·s_x + 0 + 0 + F_y·s_y
Infatti il prodotto scalare di due vettori diretti perpendicolarmente è 0: la proiezione di uno sull'altro è il vettore nullo.

2) Questo problema ha la stessa soluzione del precedente.

3) Posso procedere in due modi: considerare il prodotto tra l'intensità della componente di F perpendicolare a R e l'intensità R di R; la componente ha intensità F·sin(α), dove F è l'intensità di F; quindi il momento è F·R·sin(α). Oppure si può considerare il prodotto tra l'intensità della forza e la distanza del centro di rotazione dalla retta lungo cui agisce F, ossia la componente di R perpendicolare a F; anche procedendo in questo modo otteniamo F·R·sin(α).

Questo valore non è altro che l'"area" del parallelogramma individuato dai due vettori. Quindi si può esprimere anche come det(R/F), il determinante della matrice 2*2 avente R e F come vettori riga:  R_xF_y– R_yF_x. In questo modo si assume per convenzione positivo il caso in cui F determina una rotazione antioraria. Clicca QUI per un esercizio (3.3) che precisa questa osservazione.