Siano u = (a1, a2), v = (b1, b2) due vettori.
Quale relazione c'è tra l'area del parallelogramma raffigurato a lato e i determinanti delle matrici seguenti?  Questa relazione ti suggerisce qualche interpretazione delle seguenti proprietà dei determinanti: • se due righe o due colonne di una matrice sono tra loro proporzionali allora …; • se moltiplico per una costante una riga o una colonna di una matrice allora …; • se scambio due righe o due colonne allora …; • se a una riga (o una colonna) ne addiziono un'altra allora …		  



 a1  b1

a2b2


b1  a1

b2a2


b1  b2

a1a2

La figura seguente illustra come si può ricavare, come differenza di due aree, l'area del parallelogramma , ottenendo b2b1/2 + (b2+a1+b2)a1/2 – (a2+a1+b2)b1/2 – a2a1/2 = a1b2–b1a2.

Può essere ottenuta anche trasformando il parallelogramma in modo da renderne i lati paralleli agli assi, ottenendo un rettangolo di dimensioni a1 e b2–b1a2/a1, che ha area a1b2–b1a2:

Si tratta di aree dotate di "segno": se scambiamo u e v otteniamo –(a1b2–b1a2)

In definitiva, se indiciamo con u|v la matrice quadrata ottenuta unendo i due "vettori colonna" u e v (la prima matrice del testo dell'esercizio) e con u/v la matrice quadrata ottenuta unendo i due "vettori riga" u e v (la terza matrice del testo) , e se (pensando i due vettori applicati all'origine degli assi) indichiamo con A l'area del parallelogramma individuato da u e v presa positiva se il parallelogramma sta nell'angolo uv, negativa se sta in vu, si ha:

det (u|v) = A         det (u/v) = A

Controlliamo su un esempio:
           |1 0|                  |1 1|
det(a|b) = |   | = 1   det(a/b) = |   | = 1
           |1 1|                  |0 1|

           |0 1|                  |0 1|
det(b|a) = |   | = -1  det(b/a) = |   | = -1
           |1 1|                  |1 1|
 

• La proprietà che se due righe o due colonne sono proporzionali il determinante è nullo corrisponde al fatto che se i vettori hanno direzione uguale od opposta il parallelogramma si riduce a un segmento.
• Se moltiplico un vettore per k l'area si moltiplica per lo stesso fattore: moltiplicando per un numero una riga o una colonna viene moltiplicato per esso il determinante.
• Se scambio i due vettori l'"area" cambia segno: scambiando due righe o due colonne il determinante cambia segno.
• Se addiziono un vettore all'altro l'area (vedi figura a lato) non cambia: sommando una riga o una colonna a un'altra il determinante non cambia.		 

L'interpretazione geometrica può essere facilmente estesa al caso tridimensionale. Se a, b e c sono tre vettori di R3 e li interpreto come "colonne" si ha che det(a|b|c) è il volume del parallelepipedo individuato dai vettori, pensati come applicati a (0,0,0).
Nel caso particolare illustrato a lato a=(a1,0,0), b=(0,b2,b3) e c=(0,c2,c3).		 
| a1  0   0  |        | b2 c2 |
|  0  b2  c2 | = a1 * |       | = a1 * A
|  0  b3  c3 |        | b3 c3 |
dove A è l'area del paralleogramma individuato da b e c, che è la "base" del parallelepipedo, mentre a1 ne è l'altezza.

Se il determinante è nullo vuol dire che il parallelepipedo ha volume nullo, ossia che i tre vettori sono complanari (stanno nello stesso piano).  Vedi anche "www.wolframalpha.com" (cerca "parallelepiped" e seleziona "a mathematical definition").