Se A = (a1,a2) e B = (b1,b2) sono due punti del piano, che cosa rappresenta l'equazione a lato?

det   x  a1  b1  y  a2  b2  1  1  1  = 0

Se sviluppo il determinante ottengo una equazione di 1° grado in x e y; quindi si tratta di una retta. Il determinante si annulla sia quando la prima riga è uguale alla seconda, cioè quando (x,y)=A, sia quando essa è uguale alla seconda, cioè quando (x,y)=B. La retta passa dunque sia per A che per B.
In definitiva, questa è una (comoda) rappresentazione della retta AB. Es.: l'equazione della retta passante per (1,2) e (3,4) è:

|x y 1|
|1 2 1| = 0,  ossia  x (2-4) - y (1-3) + 4-6 = 0, ossia x-y+1=0
|3 4 1|