Dimostra che, se a, b e c sono vettori,
a·b = b·a,  a·(b+c) = a·b+a·c
a×b = −b×a,  a×(b+c) = a×b+a×c
(a−b)·(a+b) = |a|²−|b|²  e  (a−b)×(a+b) = 2a×b.

• Per le prime due formule (relative al prodotto scalare)  vedi.
• La prima formula sella seconda riga deriva dal fatto che invertendo l'ordine di un prodotto vettoriale, per la regola della mano destra, si inverte la direzione del vettore risultato: vedi
• La seconda formula sella seconda riga deriva dal fatto che l'intensità del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma avente per lati i due vettori moltiplicati:

• (a−b)·(a+b) = a·a − b·a + a·b − b·b = a·a − a·b + a·b − b·b = a·a − b·b = |a|²−|b|²
• (a−b)×(a+b) = a×a − b×a + a×b − b×b = − b×a + a×b = a×b + a×b = 2a×b (il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso è nullo in quanto è tale l'area del parallelolgramma "limite", avente come due lati consecutivi lo stesso segmento).
    Verifica con R:

# i prodotti vettoriali e scalari tra x ed y
prodv <- function(x,y) c(x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1])
prods <- function(x,y) drop( x %*% y )
a <- c(2,3,1); b <- c(4,5,3); c <- c(7,10,4)
prods(a,b); prods(b,a)
#  74       74
prodv(a,b); prodv(b,a)
#  4 -2 -2     -4  2  2
prodv(a,b+c); prodv(a,b)+prodv(a,c)
#  6 -3 -3      6 -3 -3
prods(a-b,a+b); prods(a,a)-prods(b,b)
#  -36           -36
prodv(a-b,a+b); 2*prodv(a,b)
#  8 -4 -4       8 -4 -4
prodv(a,b)-prodv(b,b); prodv(a,b)+prodv(a,a)
#   4 -2 -2              4 -2 -2
prodv(a,a); prodv(b,b); prodv(a,b)
#  0 0 0      0 0 0      4 -2 -2