Sia F: R2 → R3 l'applicazione lineare tale che F(e1+e2) = e'1, F(e1-e2) = e'2. Determinare la matrice associata ad F. 


e1 = /1\  e2 = /0\  e1+e2 = /1\  e1-e2 = / 1\  e'1 = /1\  e'2 = /0\
     \0/       \1/          \1/          \-1/        |0|        |1|
                                                     \0/        \0/
La matrice ha F(e1) e F(e2) come colonne.
Posso osservare che e1=((e1+e2)+(e1-e2))/2 e sfruttando il fatto che F è lineare ottenere:
F(e1) = F(((e1+e2)+(e1-e2))/2) = (F(e1+e2)+F(e1-e2))/2 e analogamente:
F(e2) = F(((e1+e2)-(e1-e2))/2) = (F(e1+e2)-F(e1-e2))/2
        /1\               / 1\                /1/2  1/2\ /x\   /x/2+y/2\
F(e1) = |1|*1/2   F(e2) = |-1|*1/2   F(x,y) = |1/2 -1/2|×\y/ = |x/2-y/2|
        \0/               \ 0/                \ 0    0 /       \   0   /
[per considerazioni più generali puoi vedere qui]