Per preparare della frutta sciroppata ho predisposto 600 g di sciroppo al 20% (20 g di zucchero ogni 100 g di sciroppo). Poi leggo sul ricettario che lo sciroppo deve essere al 30%. Quanto zucchero devo aggiungere allo sciroppo che ho già preparato?
(A) 24 g (B) 30 g (C) 50 g (D) 60 g (E) 85 g
Ho una soluzione al 20%: 20 g di zucchero ogni 100 di sciroppo, ossia ogni 80 di acqua.
Ho preparato 600 g di sciroppo, con 120 g di zucchero e 480 g d'acqua (20% di 600 = 20/100 di 600 = 0.2*600=120, 0.8*600=480). Devo ottenere una soluzione al 30% (30 g di zucchero ogni 100 di sciroppo, ossia ogni 70 di acqua) aggiungendo solo zucchero. Se aggiungo x grammi di zucchero ottengo 120+x grammi di zucchero. Il rapporto tra zucchero e acqua deve essere 30/70:
(120+x)/480 = 3/7 [moltiplico per 480]
120+x = 3/7*480 [sottraggo 120]
x = 3/7*480-120
x = 85.714…, cioè 85 [faccio i calcoli con una CT e approssimo a un valore leggibile su una bilancia da cucina, e sufficientemente preciso per le esigenze della preparazione della mia frutta sciroppata]
Senza formule: in 10 parti di sciroppo ce ne sono 8 di acqua e 2 di zucchero: 600/10*2 = 120 g di zucchero e 600/10*8 = 480 g di acqua. A questa devo aggiungere zucchero in modo che in 10 parti di sciroppo ve ne siano 3 di zucchero, ossia a 7 parti di acqua corrispondano 3 parti di zucchero; lo zucchero devere essere 3 volte 480/7, ossia 205.7… g, ossia, approssimando "ai 5 g più vicini", 205 g; ai 120 g di zucchero devo aggiungerne 85.
Una persona che padroneggia il ricorso alle equazioni può, in modo più astratto, procedere nel modo seguente:
se aggiungo x grammi di zucchero ottengo 600+x grammi di sciroppo, contenenti 120+x grammi di zucchero; il rapporto tra zucchero e sciroppo deve essere 0.30:
(120+x)/(600+x) = 0.30 [moltiplico per 600+x, uso A/A=1 e distribuisco]
120+x = 600*0.30+0.30x [sottraggo 120 e 0.30x, e uso A-A=0]
x-0.30x = 180-120 [raccolgo x]
0.70x = 60 [divido per 0.70 e uso A/A=1]
x = 60/0.70 = 85.71…, cioè 85 (approssimando a un valore leggibile su una bilancia da cucina, e sufficientemente preciso per le esigenze della preparazione della mia frutta sciroppata).
Se non si tenesse conto che aggiungendo zucchero aumenta anche lo sciroppo si risponderebbe erroneamente "60 g" (il 10% di 600 g, che si penserebbe di dover aggiungere al 20% già presente).
Se, erroneamente (leggendo male il testo), si riferisse la percentuale non allo sciroppo ma all'acqua, si penserebbe di avere 20 g di zucchero ogni 100 g d'acqua, ovvero ogni 120 g di sciroppo, ovvero di avere 600 g di sciroppo composti da 100 g di zucchero e 500 d'acqua. Si imposterebbe l'equazione (100+x)/500 = 0.30, ottenendo la soluzione 150-100 = 50.
Si può procedere anche per "tentativi ragionati". Provo a aggiungere 60 g. Ottengo 180/660 = 300/11% = 27% (arrotondando agli interi la percentuale). Troppo poco. Provo ad aggiungerne 100. Ottengo 220/700 = 220/7% = 31%. Troppo. Provo con 80. Ottengo 200/680 = 29%. Poco. Provo con 85. Ottengo 205/685 = 30%. OK.
Se capiamo che aggiungendo zucchero aumenta anche la quantità di sciroppo, deduciamo che la risposta deve essere maggiore di 60. Quindi, anche senza fare calcoli, possiamo concludere che la risposta (fra quelle proposte) non può che essere 85.
Se hai sbagliato, esercitati qui (metti A=120, B=480)
Per richiami sui concetti coinvolti: 
proporzionalità e risoluzione di equazioni (1) neGli Oggetti Matematici.
Di fronte a questo quesito, presentato in forma aperta (cioè senza dover scegliere tra risposte predeterminate), nonostante che faccia riferimento a un contesto simile a situazioni che si presentano frequentemente in attività di laboratorio o in manuali di tipo bilogico-chimico, meno del 10% di un campione di laureati in scienze biologiche, geologiche, ambientali o naturali (una trentina di futuri insegnanti - anno 2002) in mezz'ora di tempo è stato in grado di risolvere correttamente il problema. In genere hanno tentato di ricorrere a regole del tipo "prodotto medi = prodotto estremi", che sono fonte di confusioni concettuali e che avrebbero dovuto essere state abbandonate nell'insegnamento: i programmi che erano in vigore nella scuola media ormai da 10 anni quando la frequentarono questi laureati davano l'indicazione di non fare ricorso ad esse [
]. Questo è un tipico esempio di come la pura memorizzazione di un procedimento o di una simbologia (lo
Il quesito è stato riproposto
nel 2006/07 e nel 2007/08, in una batteria di quesiti, alle matricole dei corsi di laurea in
Matematica e in Statistica della Facoltà
di Scienze dell'Università di Genova; erano indicate solo le ultime 4 risposte. È il quesito andato peggio: circa il
10% ha risposto correttamente e circa il 70% ha scelto la risposta D; solo il 5% non ha risposto
(dando 0 punti se non si risponde, -1/3 se si sbaglia e 1 se si risponde correttamente, nei due anni il
quesito ha ottenuto come punteggio medio -0.28 e -0.19).
Vedi qui il grafico realizzato con un semplice script. Vedi qui la risoluzione dell'equazione con un altro script. Sotto gli esiti
(mi fermo a 85.71428571, ma potrei andare avanti): |  |
<script language="javascript">
function F(x) {
with(Math) {
/// you can change F [ now it is x - > x^3-2, ie pow(x,3)-2 ]
sciroppo = 600; zucchero = sciroppo/100*20
return (zucchero+x)/(sciroppo+x)*100-30
}}
Come si possono effettuare i calcoli con R (vedi), messi a punto i concetti per farlo:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# zucchero/sciroppo*100 = 20; sciroppo = 600
sciroppo = 600; zucchero = sciroppo/100*20
f = function(x) (zucchero+x)/(sciroppo+x)*100
solution(f,30, 0,1000)
# 85.71429
Altrimenti si può usare online www.wolframalpha.com. Vedi qui
solve (120+x)/(600+x) = 0.30
