Taglio una torta in 4 parti uguali e te ne dò una. Poi prendo una delle altre 3 fette, la taglio in 4 parti uguali e te ne dò una. Poi prendo una delle altre 3 parti, la taglio in 4 parti uguali e te ne dò una. Procedo così fino a che riesco a suddividere le nuove fette. Alla fine quanta torta ti ho dato? Perché?

Se facciamo i calcoli si ottiene (vedi figura a lato) che le fette man mano accumulate tendono a formare una fetta di 120°, cioè 1/3 di torta, briciola più, briciola meno. Proviamo a confermare questa conclusione con un ragionamento più diretto, meno calcolistico.
Descriviamo il problema in modo diverso. Pensiamo di distribuire le fette di torta tra tre persone. Taglio la torta in 4 parti e ne dò una a ciascuno dei 3. Divido la fetta avanzata in 4 parti e ne dò una a ciascuno dei 3. Divido la fetta avanzata in 4 parti e ne dò una a ciascuno dei 3. Procedo così fino a che riesco a tagliare fette. Tutte e tre le persone ricevono la stessa quantità di torta: 1/3 ciascuno.
Una traduzione formalizzata delle nostre conclusioni potrebbe essere:
1/4 + 1/4/4 + 1/4/4/4 + … = 1/4 + 1/4² + 1/4³ + 1/4⁴ + … = 1/3

Per altri commenti: base di rappresentazione dei numeri neGli Oggetti Matematici.

Se facciamo i calcoli si ottiene (vedi figura a lato) che le fette man mano accumulate tendono a formare una fetta di 120°, cioè 1/3 di torta, briciola più, briciola meno. Proviamo a confermare questa conclusione con un ragionamento più diretto, meno calcolistico.
Descriviamo il problema in modo diverso. Pensiamo di distribuire le fette di torta tra tre persone. Taglio la torta in 4 parti e ne dò una a ciascuno dei 3. Divido la fetta avanzata in 4 parti e ne dò una a ciascuno dei 3. Divido la fetta avanzata in 4 parti e ne dò una a ciascuno dei 3. Procedo così fino a che riesco a tagliare fette. Tutte e tre le persone ricevono la stessa quantità di torta: 1/3 ciascuno.
Una traduzione formalizzata delle nostre conclusioni potrebbe essere: 1/4 + 1/4/4 + 1/4/4/4 + … = 1/4 + 1/4² + 1/4³ + 1/4⁴ + … = 1/3