È vero che se n è un numero naturale tale che n² sia pari, allora anche n è pari? Perché?

# Con qualche prova posso arrivare alla congettura che la proprietà sia vera, ovvero che sia vero che n² è dispari se lo è n:
1²=1 è dispari, 3²=9 è dispari, 5²=25 è dispari, …
# Per provarlo posso procedere così:
un numero dispari ha la forma 2N+1 con N numero intero;
il suo quadrato è (2N+1)² = 4N²+4N+1 che è dispari in quanto 4N²+4N = 2(N²+N) è pari.

Nota. La dimostrazione potrebbe essere presentata anche usando il principio di induzione:
per far vedere che una proprietà vale per una certa successione di oggetti matematici x₁, x₂, x₃, … basta far vedere che:
– vale per il primo (x₁) e che:
– dall'ipotesi che valga per un certo oggetto (x_N) si può dedurre che valga per il successivo (x_N+1).
Il principio di induzione si basa sulla stessa idea su cui si fonda il concetto di numero naturale, quella di un contatore che, a partire da una espressione inziale, genera con un meccanismo la espressione successiva ( I numeri): come un qualunque numero naturale può essere ottenuto da 0 attraverso successive applicazioni del passaggio al successore, così la verità di una proprietà per una certa successione di oggetti matematici può essere giustificata a partire dalla sua verità per l'oggetto iniziale attraverso successivi passaggi che permettono di asserirne la verità per l'oggetto successivo.
Nel nostro caso la proprietà che  se n è un numero naturale dispari anche n² è dispari  (che, in quanto (-n)² = n², può essere estesa facilmente ai numeri negativi). Ecco la dimostrazione "per induzione":
– Caso iniziale. Il primo numero naturale dispari è 1, 1²=1, che è dispari.
– Passaggio da un caso al successivo. Supponiamo ora (ipotesi) che n sia un numero dispari tale n² sia dispari, e facciamo vedere che anche il numero dispari successivo, ossia n+2, ha quadrato positivo.  (n+2)² = n²+2n+4, 2n+4 = 2(n+2) è pari mentre n² è dispari per ipotesi; quindi la loro somma è dispari. La dimostrazione è finita.