Se definiamo √2 come il numero che ha il quadrato che fa 2 ci si pone il problema di garantire che un tale numero esista, e che sia unico. Risolvi tali questioni.

Indichiamo x₀, x₁, x₂, … le approssimazioni per difetto a meno di 0.1, 0.01, 0.001, … di un eventuale numero il cui quadrato sia 2, ovvero sia:  x_n² ≤ 2 ≤ (x_n+10⁻ⁿ) ²; abbiamo 1² < 2 < 2², quindi x₀ = 1; 1.4² < 2 < 1.5², quindi x₁ = 1.4; 1.41² < 2 < 1.42², quindi x₂ = 1.41; …. Questo è l'unico modo in cui può essere fatto un numero il cui quadrato sia 2.

Il procedimento precedente mi garantisce anche che il quadrato del numero così generato è proprio 2. Infatti il prodotto di due numeri illimitato lo si fa operando sulle sue approssimazioni per difetto e per eccesso, e quanto fatto mi permette di concludere che elevando al quadrato, ossia moltiplicando per sé stesse, le approssimazioni per difetto e per eccesso del numero così trovato a potenze di 10 man mano più piccole ottengo valori che si stringono sempre più attorno a 2.

  Per altri commenti: funzione-1 e strutture numeriche neGli Oggetti Matematici.

    Qui un algortimo per calcolare, passo per passo, la radice quadrata di un numero. Prova a calcolare √2.