È vero che la somma di due numeri dispari consecutivi è un multiplo di 4?

# Con qualche prova posso arrivare alla congettura che la proprietà sia vera:
1+3 = 4; 3+5 = 8; 5+7 = 12
Mentre faccio la congettura individuo facilmente anche un modo per dimostrarla: ogni volta che passo a una coppia successiva aumento la somma di 4, in quanto aumento i due termini della somma entrambi di 2. Quindi se la somma di 1 e 3 è un multiplo di 4 lo stesso accade per tutte le altre coppie (vale anche se ci si estende ai numeri negativi: se passo alla coppia precedente passo al prodotto di 4 per il numero intero precedente: -1 e 1 hanno come somma 0 = 4*0, -3 e -1 hanno come somma -4 = 4*(-1), …).
# Un'altra dimostrazione consiste nel descrivere un generico numero dispari come il successivo di un numero pari, ossia come il successivo di un multiplo di 2:
un numero dispari ha la forma 2N+1 con N numero intero; il dispari successivo è 2N+1+2; la loro somma è 4N+4 che è il quadruplo di N+1.
# Un altro modo (più intutivo per la mente "allenata" a lavorare con le medie) è il seguente: un numero pari intermedio tra due dispari consecutivi è la loro media aritmetica (tra 7 e 9 c'è 8, che ha 1 in più dell'uno e 1 in meno dell'altro, e quindi è il punto di equilibrio), per cui la somma di essi è il doppio del numero pari intermedio (7+9 = 8+8), che in quanto tale è un multiplo di 4.

Il primo procedimento viene detto per induzione: si fa vedere che la proprietà vale per una particolare coppia e che essa si conserva al passare da una coppia alla successiva. Se ne conclude che vale per tutte le coppie successive alla coppia iniziale.
Questo procedimento si basa sulla stessa idea su cui si fonda il concetto di numero naturale, quella di un contatore che, a partire da una espressione inziale, genera con un meccanismo la espressione successiva ( Rappresentazione decimale dei numeri e I numeri): come un qualunque numero naturale può essere ottenuto da 0 attraverso successive applicazioni del passaggio al successore, così la verità della proprietà per una generica coppia di numeri dispari consecutivi può essere giustificata a partire dalla sua verità per la coppia (1,3) attraverso successivi passaggi che permettono di asserirne la verità per la coppia successiva.