Qui viene data una definizione di estremo superiore di un insieme di numeri. Dimostra che essa equivale alla seguente:  "il numero S è un estremo superiore dell'insieme di numeri reali A se S è il minimo dei maggiornati di A, ossia dei numeri che sono maggiori o eguali a tutti i numeri di A".  Esplicita qual è la corrispondente proprietà realtiva al concetto di estremo inferiore.

La precedente definizione  ("l'estremo superiore di A è l'estremo superiore S del più piccolo intervallo (-∞,S] contenente A"),  che esprime il fatto che S è il confine tra gli elementi di A e i numeri più grandi di essi,  decisamente più chiara,  equivale a quella enunciata nel testo dell'esercizio.
Infatti  S è un maggiorante di A  se e solo se  A ⊂ (-∞,S],  e il più piccolo di tali intervalli è quello per il quale S è minimo.

L'estremo inferiore di A è il "confine" tra gli elementi di A e i numeri più piccoli di essi, ossia è l'estremo inferiore I del più piccolo intervallo [I,∞) contenente A. La cosa equivale al fatto che che I è il massimo dei minoranti di A, ossia dei numeri che sono minori o eguali a tutti i numeri di A.