Si dimostri che ogni insieme di numeri reali limitato superiormente (ossia per il quale esiste un numero reale che è maggiore di tutti i suoi elementi) ha un estremo superiore,  e che ogni insieme di numeri reali limitato inferiormente (ossia per il quale esiste un numero reale che è minore di tutti i suoi elementi) ha un estremo inferiore.

Sia A il nostro insieme. Cerchiamo di costruire un numero sup(A) che sia l'estremo superiore di A. Incominciamo a stabilire la sua parte intera (): tra tutti i numeri interi minori od uguali ad elementi di A ne cerchiamo il massimo, che sicuramente esiste essendo A limitato superiormente [supponiamo che sia 53]. Poi tra tutti i numeri limitati alla cifra dei decimi (alla cifra di posto -1) minori od uguali ad elementi di A ne cerchiamo il massimo [supponiamo che sia 53.7]. Proseguiamo allo stesso modo con i numeri limitati alla cifra di posto -2 [supponiamo di ottenere 53.71], poi a quella di posto -3 [supponiamo di ottenere 53.718], ecc.. In questo modo possiamo generare, cifra dopo cifra, l'espressione in base dieci di sup(A) [53.718…], che quindi esiste. Che tale numero sia l'estremo superiore di A deriva dal fatto che non esiste alcun numero che sia minore di esso e sia maggiore degli elementi di A. Esso potrebbe appartenere ad A, ossia essere il massimo tra i valori di A, come ad esempio accade se A è l'intervallo (-2,π], per il quale sup(A) = 3.14159… = π, o non appartenere ad A, come quando A è l'insieme dei rapporti del tipo N/(N+1) con N numero naturale, che ha come estremo superiore 0.999… = 1.
    Analogamente, individuando via via il minimo tra i numeri limitati alla cifra di posto -N maggiori od uguali ad elementi di A, possiamo determinare un numero inf(A) che sia l'estremo inferiore di A.
    Per altri commenti: i numeri e distanza tra figure neGli Oggetti Matematici.