Associa a ciascuna delle funzioni C → C F, G e H sotto definite la figura in cui essa trasforma la figura rappresentata a sinistra, scegliendo tra le figure rappresentate a destra. Motiva la risposta.   F(z) = z2   G(z) = 1/z   H(z) = ez

F moltiplica z per sé stesso, quindi (in base alla interpretazione polare del prodotto tra numeri complessi) il modulo viene elevato al quadrato e l'argomento viene raddoppiato. Quindi i punti che stanno sul cerchio di raggio 1 x²+y² = 1 rimangono su di esso, e vengono ruotati attorno all'origine di un'ampiezza pari al loro argomento. Se ne deduce che ad F occorre associare B.
G inverte il modulo di z: i punti che stanno all'interno di x²+y² = 1 vengono mandati all'esterno, e viceversa. z*(1/z)=1, e 1 ha argomento 0; quindi l'argomento di 1/z è l'opposto dell'argomento di z. Quindi i punti della figura iniziale, che stavano nel 1° quadrante, vengono spostati nel 4°. Da tutto ciò deduciamo che a G dobbiamo associare D.
H manda i numeri reali che stanno in [0,1] in [1,e]. Tra A e C dobbiamo scegliere A. Del resto C è frutto della trasformazione mediante z 2 z i (rotazione di 90° e ingrandimento del fattore di scala 2). Per capire meglio perché viene fuori A esplicitiamo e^z, con z = x+iy:

ex+iy = ex (cos(y) + i sin(y)). Questa funzione trasforma i segmenti verticali (x costante) in archi di cerchio centrati nell'origine e aventi raggio ex; quindi il segmento [0,1] dell'asse immaginario viene trasformato in un arco di cerchio di raggio e0 = 1. Si noti che il bordo superiore di A non è un arco di cerchio, come meglio evidenziato nella figura a lato, in cui appare come viene trasformato l'intero cerchio x2+y2 = 1

  Per altri commenti: I numeri complessi neGli Oggetti Matematici.

Grafici con R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") PIANO(-3,3, -3,3) ro <- runif(1e4); th <- runif(1e4)*pi/2 x <- ro*cos(th); y <- ro*sin(th); punticino(x,y, "blue") PIANO(-3,3, -3,3) f <- function(m,n) (m+n*1i)^2 punticino(Re(f(x,y)),Im(f(x,y)), "red") PIANO(-3,3, -3,3) g <- function(m,n) 1/(m+n*1i) punticino(Re(g(x,y)),Im(g(x,y)), "grey30") PIANO(-3,3, -3,3) h <- function(m,n) exp(m+n*1i) punticino(Re(h(x,y)),Im(h(x,y)), "green4")

Possiamo tracciare i grafici con dei semplici script, dopo aver espresso le funzioni utilizzando le coordinate cartesiane e ricorrendo a WolframAlpha: F: (x+iy)^2  → x^2 + i 2 x y - y^2,  (x^2-y^2, 2xy) H: exp(x+iy)  → e^x cos(y) + i e^x sin(y),  (e^x cos(y), e^x sin(y)) G: 1/(x+iy)  → x/(x^2 + y^2) - (i y)/(x^2 + y^2),  (x/(x^2+y^2), -y/(x^2+y^2)) La figura iniziale   → e le altre:      F ,   H ,    G