So che per x in R  exp(x) = 1 + x + x2/2 + x3/3! + …,  sin(x) = x − x3/3! + x5/5! + …,  cos(x) = 1 − x2/2 + x4/4! + ….  Posso estendere il dominio di queste funzioni considerando x in C (come si è fatto con quelle polinomiali) .  Posso verificare che anche per x e y complessi vale  exp(x+y) = exp(x)*exp(y), che  exp(i x) = cos(x) + i sin(x)  e dedurre che  exp(x + i y) = exp(x) (cos(y) + i sin(y)) (questa relazione è nota come formula di Eulero, che la introdusse nel 1748).  Motiva il fatto che il rettangolo del piano complesso [1,2]×[−1,1] raffigurato a lato in blu viene trasformato nella fetta di corona circolare raffigurata in rosso dalla applicazione della funzione esponenziale così estesa (qui puoi vedere come realizzare la figura)