So che per x in R
exp(x) = 1 + x + x2/2 + x3/3! +
,
sin(x) = x − x3/3! + x5/5! +
,
cos(x) = 1 − x2/2 + x4/4! +
. Posso
estendere il dominio di queste funzioni considerando x in C (come si è fatto con quelle polinomiali) .
Posso verificare che anche per x e y complessi vale exp(x+y) = exp(x)*exp(y),
che
exp(i x) = cos(x) + i sin(x)
e dedurre che exp(x + i y) =
exp(x) (cos(y) + i sin(y)) (questa relazione è nota come
formula di Eulero, che la introdusse nel 1748). Motiva il fatto che il
rettangolo del piano complesso [1,2]×[−1,1] raffigurato a lato in blu viene trasformato nella fetta di corona
circolare raffigurata in rosso dalla applicazione della funzione esponenziale così estesa (qui puoi
vedere come realizzare la figura) | |