So che per x in R  exp(x) = 1 + x + x2/2 + x3/3! + …,  sin(x) = x − x3/3! + x5/5! + …,  cos(x) = 1 − x2/2 + x4/4! + ….  Posso estendere il dominio di queste funzioni considerando x in C (come si è fatto con quelle polinomiali) .  Posso verificare che anche per x e y complessi vale  exp(x+y) = exp(x)*exp(y), che  exp(i x) = cos(x) + i sin(x)  e dedurre che  exp(x + i y) = exp(x) (cos(y) + i sin(y)) (questa relazione è nota come formula di Eulero, che la introdusse nel 1748).  Motiva il fatto che il rettangolo del piano complesso [1,2]×[−1,1] raffigurato a lato in blu viene trasformato nella fetta di corona circolare raffigurata in rosso dalla applicazione della funzione esponenziale così estesa (qui puoi vedere come realizzare la figura)

Consideriamo il segmento verticale {2}×[−1,1], che congiunge (2, −1) e (2, 1). I suoi punti vengano trasfomati nei punti : (exp(2)·cos(y), exp(2)·sin(y))  per y in [−1,1].  Sono i punti del cerchio centrato in (0,0) di raggio exp(2) = 7.38905… che vanno dalla ordinata exp(2)*sin(−1) = −6.21767… all'ordinata exp(2)*sin(1) = 6.21767…. Analogamente determino la descrizione analitica della parte rimanente del contorno.

Per approfondimenti vedi qui.

Possiamo tracciare i grafici con un semplice script, dopo aver espresso le funzioni utilizzando le coordinate cartesiane e ricorrendo a WolframAlpha: exp(x+iy)  → e^x cos(y) + i e^x sin(y),  (e^x cos(y), e^x sin(y)) La figura con questo script

# Come ottenere la figura con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/R/r.R")
PIANO(-2,10, -6,6)
x <- 1+runif(20000); y <- -1+2*runif(20000); z=x+y*1i
punticino(x,y, "blue")
punticino(Re(exp(z)),Im(exp(z)), "red")